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高中数学新教材必修第二册课件PPT 第10章 §10.1 10.1.3 古典概型(一)
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高中数学新教材同步课件必修第二册 高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。10.1.3 古典概型(一)第十章 §10.1 随机事件与概率1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.学习目标研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示.我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？导语随堂演练课时对点练一、古典概型的定义二、古典概型概率的计算三、较复杂的古典概型的概率计算内容索引一、古典概型的定义问题1 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？提示 样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的 只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 .称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.样本点相等例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；解 不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；解 不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.解 是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.反思感悟 古典概型需满足两个条件(1)样本点总数有限.(2)各个样本点出现的可能性相等.跟踪训练1 下列问题中是古典概型的是A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率√解析 A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.二、古典概型概率的计算问题2 在掷骰子的试验中，记A事件为“点数为偶数”，A事件包含哪些样本点？A事件发生的概率是多少？提示 A＝{2,4,6}.对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，记事件“出现偶数点”为B，则P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)，又P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A6)＝P(必然事件)＝1，一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝ .例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：(1)样本空间的样本点的总数n；解 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n＝6.(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；解 事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点.(3)摸出2个黑球的概率.反思感悟 利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤(1)确定样本空间的样本点的总数n.(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.跟踪训练2 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_____.解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为三、较复杂的古典概型的概率计算例3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.(1)求点数之和为7的概率；解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等.记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).(2)求掷出两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率.解 记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4).解 记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).反思感悟 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.跟踪训练3 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；解 由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，1.知识清单：(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.3.常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.课堂小结随堂演练1.(多选)下列试验是古典概型的是A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一 球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率√1234√解析 A不是等可能事件，C不满足有限性.2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是A.0.02 B.0.05C.0.1 D.0.9√12343.将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率为____.1234解析 将一枚骰子投掷两次，样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(5,5)，(6,4)，(4,6)，共7个，故“将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”的概率为4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是_____.0.21234解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P＝ ＝0.2.课时对点练1.下列是古典概型的是A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为 样本点C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求 甲被选中的概率D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点√基础巩固12345678910111213141516解析 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.123456789101112131415162.一个家庭有两个小孩，则所有可能的样本点有A.(男，女)，(男，男)，(女，女)B.(男，女)，(女，男)C.(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D.(男，男)，(女，女)√解析 两个孩子出生有先后之分.123456789101112131415163.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为√123456789101112131415164.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是√解析 样本点有：(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6个.甲站在中间的样本点包括：(乙，甲，丙)、(丙，甲，乙)，共2个，123456789101112131415165.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为√解析 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为123456789101112131415166.(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有A.“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率B.只要连掷6次，一定会“出现1点”C.投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大D.连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19√12345678910111213141516√“出现1点”是随机事件，故B错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D正确.123456789101112131415167.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是____.解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4个样本点，故所求的概率为123456789101112131415168.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是____.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是_____.12345678910111213141516解析 从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等.因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)共4个，故概率P＝9.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？解 由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.12345678910111213141516(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”.12345678910111213141516显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.10.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.(1)共有多少个样本点？12345678910111213141516解 分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).因此，共有10个样本点.(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？1234567891011121314151611.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为√12345678910111213141516综合运用解析 把2个红球分别标记为红1、红2,2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2).1234567891011121314151612.从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为√1234567891011121314151613.每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为12345678910111213141516√解析 设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率P＝14.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是_____.解析 总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等.因为方程无实根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0.即m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个样本点.1234567891011121314151615.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为√拓广探究12345678910111213141516解析 记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等.1234567891011121314151616.某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部样本点；12345678910111213141516解 从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为：(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D).(2)求教师A1被选中的概率；12345678910111213141516(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.解 组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个，解 宣讲团中没有乙校教师代表的样本点有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2个，
高中数学新教材同步课件必修第二册 高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。10.1.3 古典概型(一)第十章 §10.1 随机事件与概率1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.学习目标研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示.我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？导语随堂演练课时对点练一、古典概型的定义二、古典概型概率的计算三、较复杂的古典概型的概率计算内容索引一、古典概型的定义问题1 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？提示 样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的 只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 .称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.样本点相等例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；解 不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；解 不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.解 是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.反思感悟 古典概型需满足两个条件(1)样本点总数有限.(2)各个样本点出现的可能性相等.跟踪训练1 下列问题中是古典概型的是A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率√解析 A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.二、古典概型概率的计算问题2 在掷骰子的试验中，记A事件为“点数为偶数”，A事件包含哪些样本点？A事件发生的概率是多少？提示 A＝{2,4,6}.对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，记事件“出现偶数点”为B，则P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)，又P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A6)＝P(必然事件)＝1，一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝ .例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：(1)样本空间的样本点的总数n；解 由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n＝6.(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；解 事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点.(3)摸出2个黑球的概率.反思感悟 利用古典概型概率计算公式计算概率的步骤(1)确定样本空间的样本点的总数n.(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.跟踪训练2 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_____.解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为三、较复杂的古典概型的概率计算例3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.(1)求点数之和为7的概率；解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等.记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).(2)求掷出两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率.解 记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4).解 记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).反思感悟 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.跟踪训练3 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；解 由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，1.知识清单：(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.3.常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.课堂小结随堂演练1.(多选)下列试验是古典概型的是A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一 球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率√1234√解析 A不是等可能事件，C不满足有限性.2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是A.0.02 B.0.05C.0.1 D.0.9√12343.将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率为____.1234解析 将一枚骰子投掷两次，样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等，其中“将一枚骰子投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”所包含的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(5,5)，(6,4)，(4,6)，共7个，故“将一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数”的概率为4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是_____.0.21234解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P＝ ＝0.2.课时对点练1.下列是古典概型的是A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为 样本点C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求 甲被选中的概率D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点√基础巩固12345678910111213141516解析 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.123456789101112131415162.一个家庭有两个小孩，则所有可能的样本点有A.(男，女)，(男，男)，(女，女)B.(男，女)，(女，男)C.(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D.(男，男)，(女，女)√解析 两个孩子出生有先后之分.123456789101112131415163.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为√123456789101112131415164.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是√解析 样本点有：(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6个.甲站在中间的样本点包括：(乙，甲，丙)、(丙，甲，乙)，共2个，123456789101112131415165.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为√解析 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为123456789101112131415166.(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有A.“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率B.只要连掷6次，一定会“出现1点”C.投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大D.连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19√12345678910111213141516√“出现1点”是随机事件，故B错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D正确.123456789101112131415167.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是____.解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4个样本点，故所求的概率为123456789101112131415168.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是____.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是_____.12345678910111213141516解析 从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等.因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)共4个，故概率P＝9.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？解 由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.12345678910111213141516(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”.12345678910111213141516显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.10.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.(1)共有多少个样本点？12345678910111213141516解 分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).因此，共有10个样本点.(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？1234567891011121314151611.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为√12345678910111213141516综合运用解析 把2个红球分别标记为红1、红2,2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2).1234567891011121314151612.从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为√1234567891011121314151613.每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者5名，其中男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为12345678910111213141516√解析 设3名男生分别用A，B，C表示，2名女生分别用a，b表示，则从5人中选出2名青年志愿者的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共有10个样本点，其中选出的2名志愿者性别相同包含的样本点有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共有4个，则选出的2名青年志愿者性别相同的概率P＝14.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是_____.解析 总的样本点个数为36，且每个样本点出现的可能性相等.因为方程无实根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0.即m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个样本点.1234567891011121314151615.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为√拓广探究12345678910111213141516解析 记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等.1234567891011121314151616.某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.(1)请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部样本点；12345678910111213141516解 从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，组成人员的全部样本点有12个，分别为：(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D).(2)求教师A1被选中的概率；12345678910111213141516(3)求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.解 组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个，解 宣讲团中没有乙校教师代表的样本点有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2个，
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