高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用同步达标检测题

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知识精讲
知识点01 基线的概念与选择原则
1．定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的 叫做基线．
2．性质
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的 ，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越 ．
【即学即练1】 已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．10eq \r(3) 海里 B.eq \f(10\r(6),3)海里
C．5eq \r(2) 海里 D．5eq \r(6) 海里
知识点02 测量中的有关角的概念
1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫 ，目标视线在水平线下方时叫 ．(如图所示)
2．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)
【即学即练2】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
知识点03 三角形的面积公式
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为
(1)S＝ eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)casin B；
(2)S＝eq \f(1,2)a·ha＝eq \f(1,2)b·hb＝eq \f(1,2)c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)．
2．△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，
sin(A＋B)＝ ，cs(A＋B)＝ ；
(2)大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B；
(3)任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边．
【即学即练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝eq \r(7)，且ccs A＋eq \f(1,2)a＝b.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
反思感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．
能力拓展
考法01 距离问题
【典例1】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离．
反思感悟 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
【变式训练】如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________ m.
考法02 高度问题
【典例2】珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为( )
A．10米 B．9.72米
C．9.40米 D．8.62米
反思感悟 测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
【变式训练】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
A．10 m B．10eq \r(2) m
C．10eq \r(3) m D．10eq \r(6) m
考法03 角度问题
【典例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq \r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
反思感悟 测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
【变式训练】 地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40eq \r(3) m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或直角三角形
2．下列命题中， 不正确的是（ ）
A．“若 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ” 的否命题为假命题
B．在锐角 SKIPIF 1 < 0 中， 不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立
C．在 SKIPIF 1 < 0 中， 若 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 必是等腰直角三角形
D．在 SKIPIF 1 < 0 中， 若 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 必是等边三角形
3．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向上，灯塔B在观察站南偏东 SKIPIF 1 < 0 方向上，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向上B．北偏西 SKIPIF 1 < 0 方向上C．南偏东 SKIPIF 1 < 0 方向上D．南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向上
4．（多选）某人在 SKIPIF 1 < 0 处向正东方向走 SKIPIF 1 < 0 后到达 SKIPIF 1 < 0 处，他沿南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向走 SKIPIF 1 < 0 到达 SKIPIF 1 < 0 处，这时他离出发点 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝1， SKIPIF 1 < 0 ，则△ABC的面积为______．
6．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．
7．如图，小明同学在山坡上 SKIPIF 1 < 0 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 SKIPIF 1 < 0 处测得公路上 SKIPIF 1 < 0 两点的俯角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .若山坡高为 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在同一水平面），汽车从 SKIPIF 1 < 0 点到 SKIPIF 1 < 0 点历时 SKIPIF 1 < 0 ，则这辆汽车的速度为__________ SKIPIF 1 < 0 .（结果精确到整数，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
8．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求：
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
9．如图，甲船以 SKIPIF 1 < 0 海里/小时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 SKIPIF 1 < 0 处时，乙船位于甲船南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向的 SKIPIF 1 < 0 处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达 SKIPIF 1 < 0 处时，乙船航行到甲船南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向的 SKIPIF 1 < 0 处，此时两船相距 SKIPIF 1 < 0 海里.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求乙船的航行速度.
10． SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
11．已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长．
12．记锐角 SKIPIF 1 < 0 的角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边上的高的取值范围．
题组B 能力提升练
1．国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了 SKIPIF 1 < 0 两点，在 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 处测得旗杆的仰角分别为 SKIPIF 1 < 0 .在水平面上测得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的距离为10米，则旗杆的高度为（ ）
A．5B． SKIPIF 1 < 0 C．10D． SKIPIF 1 < 0
2．某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在 SKIPIF 1 < 0 处，图书馆在 SKIPIF 1 < 0 处，为测量 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两地之间的距离，甲同学选定了与 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 不共线的 SKIPIF 1 < 0 处，构成 SKIPIF 1 < 0 ，以下是测量的数据的不同方案：①测量 SKIPIF 1 < 0 ；②测量 SKIPIF 1 < 0 ；③测量 SKIPIF 1 < 0 ；④测量 SKIPIF 1 < 0 .其中要求能唯一确定 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
3．某市某中学高三（4）班同学小李要测量一座山的高度.当地有一座山，高度为OT，小李同学先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北25°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走700米后到达地面B处，测得该山在北偏西5°方向，山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图模型，则山高OT为（ ） SKIPIF 1 < 0
A．20 SKIPIF 1 < 0 米B．50 SKIPIF 1 < 0 米C．200 SKIPIF 1 < 0 米D．140 SKIPIF 1 < 0 米
4．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为直角顶点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点在直线 SKIPIF 1 < 0 的两侧）.当 SKIPIF 1 < 0 变化时，线段 SKIPIF 1 < 0 长的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（多选）重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图， SKIPIF 1 < 0 为解放碑的最顶端， SKIPIF 1 < 0 为基座（即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的正下方），在步行街上（与 SKIPIF 1 < 0 在同一水平面内）选取 SKIPIF 1 < 0 两点，测得 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ．小组成员利用测角仪已测得 SKIPIF 1 < 0 ，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的角平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
7．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中 SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 .
(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
8． SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求B；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长的最小值．
9．某农户有一个三角形地块 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上）用来养一些家禽，经专业测量得到 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
10．在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角C的值；
(2)求a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
题组C 培优拔尖练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 分别在直线 SKIPIF 1 < 0 的两侧，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长度的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4， SKIPIF 1 < 0 ，点D在线段BC上， SKIPIF 1 < 0 ，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别是E，F，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是______.
3．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为___________．
4．在 SKIPIF 1 < 0 中(角A为最大内角，a，b，c为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边)和 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边BC上，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
6．已知在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
7．设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
8．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距 SKIPIF 1 < 0 海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里 SKIPIF 1 < 0 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 SKIPIF 1 < 0 海里 SKIPIF 1 < 0 小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 SKIPIF 1 < 0 海里 SKIPIF 1 < 0 小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
9．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 .已知角 SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.
10．设 SKIPIF 1 < 0 的内心为点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的另一交点为点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的三边成等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
3.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.
4.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.
5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．
1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.
2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键.
5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．