2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.4.3 第1课时　余弦定理

6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

知识点一　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝

思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二　余弦定理可以用于两类解三角形问题
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
知识点三　解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

1.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　×　)
2.在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.(　√　)
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　√　)
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　×　)

一、已知两边及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a.
解　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理cos A＝＝0，
A＝90°，C＝60°.
反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1　已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ；sin A＝ .
答案　2　
解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
二、已知三边解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解　∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝－.
又∵0°AB，∴A>B>C，
∴最大角与最小角的和为A＋C＝180°－B＝120°.
5.在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，则A＝ .
答案　
解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，
所以c＝－.
由余弦定理，得cos A＝＝，
又A为△ABC的内角，所以A＝.

1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件.


1.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　)
A. B. C. D.5
答案　A
解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以c＝.
2.(2019·安徽合肥八中质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为(　　)
A.150° B.120° C.92° D.135°
答案　B
解析　设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，
由余弦定理，得cos C＝＝＝－.
因为C为△ABC的内角，
所以此三角形中的最大角C＝120°.
3.(2019·四川绵阳中学月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，c＝2，cos A＝，则b等于(　　)
A. B. C.2 D.3
答案　D
解析　∵a＝，c＝2，cos A＝，
∴由余弦定理，可得cos A＝＝＝，
整理可得3b2－8b－3＝0，
∴b＝3或b＝－(舍去).
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B.8－4 C.1 D.
答案　A
解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)
＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
∴ab＝.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于(　　)
A.4 B. C.3 D.
答案　D
解析　由三角形内角和定理，可知
cos C＝－cos(A＋B)＝－，
又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×＝17，
所以c＝.
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，且b2＋c2＝3＋bc，则角A的大小为 .
答案　60°
解析　∵a＝，且b2＋c2＝3＋bc，
∴b2＋c2＝a2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
∵0°