高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试单元测试课时练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试单元测试课时练习，共7页。试卷主要包含了指数运算及指数函数的应用等内容，欢迎下载使用。

微专题集训三 指数运算及指数函数的应用


专题1 指数运算


1.☉%0￥@74￥9*%☉(2020·合肥一中月考)已知x-23=4,则x等于( )。


A.±18 B.±8 C.344 D.±232


答案：A


解析：由题意,可知x-23=4,可得13x2=4,即3x2=14,所以x2=164,解得x=±18。故选A。


2.☉%**￥9449#%☉(2020·上饶一中月考)已知集合A={x|0

A.(-∞,1) B.(1,+∞)


C.(-∞,1] D.[1,+∞)


答案：B


解析：∵B={x|2x≤1}={x|2x≤1=20}={x|x≤0},∴A∪B={x|x≤1}。


∵全集U=R,∴∁U(A∪B)=(1,+∞),故选B。


3.☉%@*6@*188%☉(2020·九江中学月考)式子a-1a经过化简可得到( )。


A.-a B.a C.-a D.--a


答案：D


解析：因为a-1a,所以a<0,所以a-1a=-a2·-1a2=--a。故选D。


4.☉%4#3*07￥*%☉(2020·安庆一中月考)已知x+x-1=3,则x2+x-2= ;x12+x-12= 。


答案：7 5


解析：∵x+x-1=3,∴x2+x-2=(x+x-1)-2=32-2=7;∵x12+x-122=x+x-1+2=5,∴x12+x-12=5。


5.☉%61*5*￥1#%☉(2020·雅礼中学周练)1.5-13×-760+80.25×42+(32×3)6-2323。


答案：解:原式=2313+234×214+22×33-2313=2+108=110。


6.☉%@￥@06*06%☉(2020·黄冈中学过关检测)计算:21412-(-9.6)0-82723+32-2。


答案：解:21412-(-9.6)0-82723+32-2=9412-1-233×23+232=32-1=12。


专题2 指数函数的图像与性质


7.☉%890@*#9￥%☉(2020·武汉外校月考)函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个坐标系内的图像可能是( )。


A. B.


C. D.


图3-1


答案：C


解析：两个函数分别为指数函数和二次函数,其中二次函数的图像过(0,-1)点,故排除A,D。二次函数的对称轴为直线x=1a-1,当01时,指数函数递增,1a-1>0,B不合题意,故选C。


8.☉%8@*78*#6%☉(2020·华师一附中月考)函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图像必经过点( )。


A.(0,1) B.(1,1) C.(2,1) D.(2,2)


答案：D


解析： y=ax-2+1(a>0且a≠1),当x=2时,y=a2-2+1=a0+1=1+1=2,故y的图像必过点(2,2)。故选D。


9.☉%#20@*9@0%☉(2020·江西师大附中检测)若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为( )。


A.(0,4) B.(0,+∞) C.(3,4) D.(3,+∞)


答案：C


解析：如图,若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4)。故选C。





10.☉%@5@@*700%☉(2020·芜湖一中期中)已知函数g(x)=3x+t的图像不经过第二象限,则t的取值范围为( )。


A.t≤-1 B.t<-1


C.t≤-3 D.t≥-3


答案：A


解析：由指数函数的性质,可得函数g(x)=3x+t图像与y轴的交点坐标为(0,1+t),又函数g(x)是增函数,图像不经过第二象限,∴1+t≤0,解得t≤-1。故选A。


11.☉%@458￥9#*%☉(2020·玉林中学月考)求不等式a2x-7>a4x-1(a>0且a≠1)中x的取值范围。


答案：解:设y=ax(a>0且a≠1),若0

∴a2x-7>a4x-1⇔2x-7<4x-1,解得x>-3;


若a>1,则y=ax为增函数,


∴a2x-7>a4x-1⇔2x-7>4x-1,解得x<-3,


综上,当0

当a>1时,x的取值范围是(-∞,-3)。


12.☉%9￥#0#9#5%☉(2020·陕师大附中期中)求函数y=13x2-4x,x∈[0,5)的值域。


答案：解:令u=x2-4x,x∈[0,5),则-4≤u<5,


当-4≤u<5时,y=13u是减函数,则135

13.☉%959￥@#7￥%☉(2020·黄冈中学月考)已知函数f(x)=4x4x+2。


(1)若0

答案：解:f(a)+f(1-a)=4a4a+2+41-a41-a+2=4a4a+2+44+2-4a=4a4a+2+24a+2=1;


(2)求f12 013+f22 013+…+f2 0122 013的值。


答案：由(1)可得f12 013+f2 0122 013=f22 013+f2 0112 013=…=1,所以f12 013+f22 013+…+f2 0122 013=1×1 006=1 006。


专题3 指数函数的应用


14.☉%38￥7￥8#*%☉(2020·临川一中月考)某种细胞在生长过程中,每10 min分裂一次(由一个分裂为两个),经过2 h后,此细胞可由一个分裂成( )。


A.511个 B.512个 C.211个 D.212个


答案：D


解析：依题知,10 min后个数为21个,20 min后个数为22个,所以2 h后即为120 min后个数应为212个。故选D。


15.☉%*054*￥8#%☉(2020·合肥168中学检测)春天,池塘中小荷尖角渐露,已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶30天可以完全覆盖池塘水面,则当荷叶覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )。


A.15天 B.20天 C.29天 D.30天


答案：C


解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系式为y=2x,当x=30时,长满水面,所以生长29天时,布满水面的一半。故选C。


16.☉%036￥**@5%☉(2020·枣庄八中检测)已知函数f(x)=4x-2x+1-a没有零点,则实数a的取值范围是( )。


A.a<-1 B.a≤0


C.a≥0 D.a≤-1


答案：A


解析：设t=2x(t>0),则原函数可化为y=t2-2t-a=(t-1)2-1-a≥-1-a>0⇒a<-1。故选A。


17.☉%@#1￥0*53%☉(2020·武钢三中月考)为了检验某种溶剂的挥发性,在容积为1 L的容器中注入溶液,然后在挥发的过程中测量剩余溶液的体积。已知溶剂注入过程中,其体积y(L)与时间t(min)成正比,且恰在2 min注满;注入完成后,y与t的关系为y=15t30-a(a为常数),如图3-2。





图3-2


(1)求体积y与时间t之间的函数关系式。


答案：解:当0≤t≤2时,函数的解析式为y=kt,


将点M(2,1)代入得k=12,所以y=12t;


当t>2时,函数的解析式为y=15t30-a,


将点(2,1)代入得a=115,所以y=15t30-115。


综上有y=12t,0≤t≤2,15t30-115,t>2。


(2)当容器中的溶液少于8 mL时,试验结束,则从注入溶液开始,至少需要经过多少分钟才能结束试验?


答案：由题可得y≤0.008=1125,即得12t≤1125,0≤t≤2或15130t-115≤1125,t>2,


所以0≤t≤2125或t≥92。


由题意知至少需要经过92 min后,试验才能结束。


18.☉%￥7#7￥9￥2%☉(2020·武汉中学期中)已知定义在R上的函数f(x)=3x-93x。


(1)若f(x)=8,求x的值;


答案：解:f(x)=3x-93x=8,即(3x)2-8·3x-9=0,


则3x=9或3x=-1(舍去),所以x=2。


(2)对于任意的x∈[0,2],[f(x)-3]·3x+13-m≥0恒成立,求实数m的取值范围。


答案：由题意知,m≤[f(x)-3]·3x+13=3x-93x-3·3x+13=3x2-3·3x+4。


设y=3x2-3·3x+4,


令t=3x,由x∈[0,2],知t∈[1,9],故y=t2-3t+4,


当t=32时,y取得最小值74,∴m≤74。


19.☉%92@￥3*#4%☉(2020·团风中学月考)已知函数f(x)=ex-e-x2,g(x)=ex+e-x2。


(1)试判断函数f(x)与g(x)的奇偶性;


答案：由题意,函数f(x)=ex-e-x2,g(x)=ex+e-x2,


可得定义域为R,f(-x)=e-x-ex2=-f(x),g(-x)=e-x+ex2=g(x),


所以函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数。


(2)若M(x)=[f(x)]2+[g(x)]2,求函数M(x)的最小值。


答案：M(x)=[f(x)]2+[g(x)]2=ex-e-x22+ex+e-x22=e2x+e-2x2=(ex-e-x)2+22≥1,


当x=0时上式取得等号,则函数M(x)的最小值为1。


20.☉%#￥98￥9￥9%☉(2020·黄冈调考)设a∈R,函数f(x)=3x+a3x+1。


(1)求a的值,使得f(x)为奇函数;


答案：解:根据题意,函数f(x)=3x+a3x+1,其定义域为R,若f(x)为奇函数,则f(0)=30+a30+1=0,解得a=-1(经检验适合),故a=-1。


(2)若f(x)

答案：根据题意,f(x)

分3种情况讨论:


当a=0时,①变形为-3<0,恒成立;


当a>0时,①变形为3a-3a<3x+1,


若3a-3a<3x+1恒成立,必有3a-3a≤1,解得a≤32,


此时a的取值范围为0,32;


当a<0时,①变形为3a-3a>3x+1,不可能恒成立。


综上可得a∈0,32。