北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试单元测试一课一练

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试单元测试一课一练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第三章 单元测试卷


第Ⅰ部分 选择题(共40分)


一、选择题(5分×8=40分)


1.☉%#682@1@￥%☉(2020·枣庄高一月考)4-23+3(1-3)3+4(1-3)4=( )。


A.3-1 B.1-3 C.3-33 D.33-3


答案：A


解析：由于4-23=(3-1)2=|3-1|=3-1,


3(1-3)3=1-3,4(1-3)4=|1-3|=3-1,


故原式=(3-1)+(1-3)+(3-1)=3-1。故选A。


2.☉%@00##4#3%☉(2020·郑州高一质量检测)已知3a=5b=15,则a,b不可能满足的关系是( )。


A.a+b>4 B.ab>4


C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<8


答案：D


解析：由3a=5b=15,可得(3a)b=15b,(5b)a=15a,


∴3ab=15b,5ab=15a,∴3ab·5ab=15a·15b=15a+b,即15ab=15a+b,


∴a+b=ab,又a,b为不相等的正数,∴a+b>2ab,


∴ab>2ab,即ab>4,故A,B正确;∵(a-1)2+(b-1)2>2等价于a2+b2>2(a+b),又a2+b2>2ab,且a+b=ab,故C正确;


a2+b2>2ab,ab>4,∴a2+b2>8,故D错误。故选D。


3.☉%@0#538#*%☉(2020·济宁二中月考)下列函数:①y=4x2;②y=6x;③y=32x;④y=3·2x;⑤y=2x+1(以上各函数定义域为x∈N*)。其中正整数指数函数的个数为( )。


A.0 B.1 C.2 D.3


答案：C


解析：由题意可得y=6x,y=32x=9x为正整数指数函数,题中所给的其余函数不是正整数指数函数,即正整数指数函数的个数为2。故选C。


4.☉%#@￥5￥490%☉(2020·邵阳一中检测)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax与g(x)=ax的图像可能是( )。








图3-5


答案：B


解析：由题意g(x)=ax,∴a>0,故f(x)=ax经过第一、三象限,∴A,D不正确。


若g(x)=ax为增函数,则a>1,与C中y=ax的斜率小于1矛盾,故C不正确,B中0

5.☉%88@￥7#*9%☉(2020·广西玉林中学月考)若指数函数y=ax在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于( )。


A.1+52 B.-1+52


C.1±52 D.5±12


答案：D


解析：指数函数y=ax在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则|a-1-a|=1,解得a=5±12。故选D。


6.☉%*68*￥72@%☉(2020·武汉中学高一月考)已知指数函数f(x)=(a-2)x满足f(2)>f(22),那么实数a的取值范围是( )。


A.(2,+∞) B.(3,+∞)


C.(2,3) D.(1,2)


答案：C


解析：由题知,指数函数f(x)=(a-2)x,x∈R满足f(2)>f(22),因为22>2,f(2)>f(22),所以函数f(x)=(a-2)x在定义域上为减函数,所以0

7.☉%85#@82@*%☉(2020·山东师大附中检测)设函数f(x)=|2x-1|,x<2,-x+5,x≥2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是( )。


A.(16,32) B.(18,34)


C.(17,35) D.(6,7)


答案：B


解析：画出函数f(x)的图像如图。





不妨令a

8.☉%*97#4#9*%☉(2020·江西吉安一中月考)若函数y=12|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则m的取值范围是( )。


A.m≤-1 B.m≥1


C.-1≤m<0 D.0

答案：C


解析：由已知函数y=12|1-x|+m有零点,即方程12|1-x|+m=0有解,此时m=-12|1-x|。


∵|1-x|≥0,∴0<12|1-x|≤1,∴m∈[-1,0)。故选C。


第Ⅱ部分 非选择题(共60分)


二、填空题(5分×3=15分)


9.☉%3￥3#6@*7%☉(2020·信阳一中月考)0.027-13--16-2+2560.75-125729-13+59-1-729-16= 。


答案：31


解析：原式=0.3-1-36+25634-125729-13+95-93×(-16)=103-36+43-95+95-13=31。


10.☉%#98@4*0￥%☉函数y=32-2x的定义域是 。


答案：(-∞,5]


解析：由32-2x≥0,得2x≤32,解得x≤5。


∴y=32-2x的定义域为(-∞,5]。


11.☉%6￥05*￥4￥%☉函数f(x)=-x+3-3a,x<0,ax,x≥0(a>0且a≠1)是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是 。


答案：0,23


解析：当x<0时,函数f(x)=-x+3-3a是减函数,当x≥0时,若函数f(x)=ax是减函数,则0

三、解答题(共45分)


12.(10分)☉%*2924￥￥@%☉(2020·保定模拟)化简:


(1)(a3+a-3)(a3-a-3)÷[(a4+a-4+1)(a-a-1)];


答案：解:原式=[(a3)2-(a-3)2]÷[(a4+a-4+1)·(a-a-1)]


=(a2)3-(a-2)3(a4+a-4+1)(a-a-1)


=(a2-a-2)(a4+a-4+1)(a4+a-4+1)(a-a-1)


=a2-(a-1)2a-a-1


=a+a-1。


(2)(124+223)12-2716+1634-2×823+52×4-25-1。


答案：原式=[(11+3)2]12-(33)16+(24)34-2×(23)23+215×245


=11+3-3+8-8+2


=13。


13.(10分)☉%6*￥4*@81%☉(2020·浙江新高考研究联盟高一联考)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,8),B(3,32)。


(1)求f(x)的解析式;


答案：解:把点A(1,8),B(3,32)代入函数f(x)=b·ax,可得ab=8,b·a3=32,解得a=2,b=4,


∴f(x)=4·2x。


(2)若不等式1ax+1bx+1-2m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围。


答案：不等式1ax+1bx+1-2m≥0,即m≤1212x2+12·12x+12,


令t=12x,则m≤12t2+12t+12,


记g(t)=12t2+12t+12=12t+122+38,


由x∈(-∞,1],可得t≥12,


故当t=12时,函数g(t)取得最小值为78。


由题意可知,m≤g(t)min,∴m≤78。


14.(12分)☉%1*773*￥￥%☉(2020·广东六校教研协作体高一联考)设f(x)=-2x+m2x+1+n(m>0,n>0)。


(1)当m=n=1时,求证:f(x)不是奇函数;


答案：证明:因为当m=n=1时,f(x)=-2x+12x+1+1,f(1)=-15,f(-1)=14,f(-1)≠-f(1),所以f(x)不是奇函数。


(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值。


答案：解:当f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即-2-x+m2-x+1+n=--2x+m2x+1+n对定义域内任意实数x成立。化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,


所以2m-n=0,2mn-4=0,所以m=-1,n=-2或m=1,n=2。


经检验只有m=1,n=2符合题意,所以m=1,n=2。


15.(13分)☉%#84@@3￥6%☉(2020·乐山检测)已知函数f(x)=13x,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a)。


(1)求h(a);


答案：解:因为x∈[-1,1],所以13x∈13,3,


设t=13x∈13,3,


则设φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,


当a<13时,g(x)min=h(a)=φ13=289-2a3;


当13≤a≤3时,g(x)min=h(a)=φ(a)=3-a2;


当a>3时,g(x)min=h(a)=φ(3)=12-6a。


综上,h(a)=289-2a3a<13,3-a213≤a≤3,12-6a(a>3)。


(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:


①m>n>3;


②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]。


若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由。


答案：假设满足题意的m,n存在,因为m>n>3,所以h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数,因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],所以12-6m=n2,12-6n=m2,相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),又因为m-n≠0,所以m+n=6,但这与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n不存在。