北师大版高中数学必修第一册第三章指数运算与指数函数学案

§1　指数幂的拓展

§2　指数幂的运算性质

　分数指数幂、根式

[问题1] 某个细胞经过一分钟第一次分裂,1个分裂成2个;经过两分钟第二次分裂,2个分裂成4个;以此类推,问经过8分钟、10分钟、20分钟、x分钟分裂后共有多少个细胞?若每三分钟分裂一次,x分钟分裂后共有多少个细胞?

提示:1→2→4→8…→y=2x;若每三分钟分裂一次,则x分钟分裂后共有y=个.

知识点1:分数指数幂与根式

(1)正分数指数幂

给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂.

(2)正数的正分数指数幂可表示为

①=(a>0);

②=(a>0,m,n∈N+,n>1,且m,n互素).

注意:把根式化成分数指数幂的形式时,不要轻易对进行约分.

(3)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,同样可定义为==(a>0,m,n∈N+,n>1,且m,n互素).

(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

[例1] (1)化简下列各式:

①+()5;②+()6;

(2)若-3<x<3,求-的值.

解:(1)①原式=(-2)+(-2)=-4.

②原式=|-2|+2=2+2=4.

解:(2)-=-=|x-1|-|x+3|,

当-3<x≤1时,原式=1-x-(x+3)=

-2x-2.

当1<x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4.

综上,原式=

变式训练1-1:化简:(1)(x<π,n∈N+);

(2).

解:(1)因为x<π,所以x-π<0.

当n为偶数时,=|x-π|=π-x;

当n为奇数时,=x-π.

综上可知,=

解:(2)=|x+2|=

(3)在解决有关根式、绝对值、分式等问题时,一定要仔细观察、分析根号下式子的特征,为使开偶次方后不出现符号错误,一定要先用绝对值符号表示,然后利用已知条件去掉绝对值符号,对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论.

　指数幂的运算性质

[问题2] (1)设a>0,,,分别等于什么?

(2)初中学过的整数指数幂的运算性质能推广到实数指数幂吗?

提示:(1)==a2=(a>0);

==a4=(a>0);

==a3=(a>0).

(2)能.

知识点2:对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:

(1)aα·aβ=aα+β;

(2)(aα)β=aαβ;

(3)(ab)α=aαbα.

[例2] 计算下列各式:

(1)(2)0+2-2×(2)-0.010.5;

(2)0.06-()0+[(-2)3+16-0.75;

(3)()·(a>0,b>0).

解:(1)原式=1+×()-()=1+-=.

(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=-1++=.

(3)原式=····=a0b0=.

变式训练2-1:(1)用分数指数幂的形式表示下列各式:

①(a>0);

②((b>0);

③(x>0,y>0).

(2)计算:

①0.02-(6)+25+(2-3-1+π0;

②(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);

③2÷4·3.

解:(1)①====.

②原式=[(==.

③法一　从外向里化为分数指数幂.

=()

=[()]

=([()])

=()·()()

=··==.

法二　从里向外化为分数指数幂.

====(·x)=.

解:(2)①原式=(0.33-[()2]+(44+(-+1=0.3-+43+2-+1=64.

②原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)

=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-.

③原式=2÷(4)·(3)=·3=.

③底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.

[例1] 化简:÷()(a>0,b>0).

解:原式=÷()=÷()=b÷(ab)==.

[例2] 求值:80.25×+-+×.

解:原式=×+4×27-()+()×1=2+108=110.

[例3] (1)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c.求证:=+;

(2)已知ax3=by3=cz3,且++=1.

求证:(ax2+by2+cz2=++.

证明:(1)令3a=4b=6c=t,

则3=,2=,6=.

因为3×2=6,

所以·=,

即+=,

所以=+.

求证:(2)令ax3=by3=cz3=t,

则ax2=,by2=,cz2=.

因为++=1,

所以++=t,

即ax2+by2+cz2=t.

所以(ax2+by2+cz2==(++)

=++

=++.

基础巩固

知识点一:分数指数幂与根式

1.下列式子的互化正确的是(　C　)

(A)=(y<0)

(B)=-(x≠0)

(C)=(x>0)

(D)-=(-x(x>0)

解析:y<0,=(-y=(-y,A错误;

=(x≠0),B错误;=(x>0),C正确;-=-(x>0),D错误.故选C.

2.下列各式中成立的是(　D　)

(A)()7=n7          (B)=

(C)=(x+y   (D)=π-3

解析:()7=n7m-7,故A错误;

==,故B错误;

C错误;D正确.故选D.

知识点二:幂的运算性质

3.(多选题)下列各式运算正确的是(　ABD　)

(A)(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8

(B)(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3

(C)(-a3)2·(-b2)3=a6b6

(D)[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18

解析:对于A,(-a2b)2·(-ab2)3=a4b2·(-a3b6)=-a7b8,故A正确;对于B,

(-a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故B正确;对于C,

(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6,故C错误;对于D,易知正确.故选ABD.

4.计算(n∈N+)的结果为(　D　)

(A)          (B)22n+5

(C)2n2-2n+6    (D)()2n-7

解析:原式===27-2n=()2n-7.故选D.

知识点三:条件求值

5.已知正数x满足+=,则x2+x-2=(　B　)

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

解析:由题意知(+)2=5,

即x+x-1+2=5,则x+x-1=3,

所以=9,即x2+x-2+2=9,

因此x2+x-2=7.故选B.

6.如果a=3,b=384,那么a[()]n-3=　　　　. 

解析:a[()]n-3=3[()]n-3=3[(128]n-3=3×2n-3.

答案:3×2n-3

能力提升

7.若(1-2x有意义,则x的取值范围是(　D　)

(A)(-∞,+∞)

(B)(-∞,)∪(,+∞)

(C)(,+∞)

(D)(-∞,)

解析:因为(1-2x=,所以1-2x>0,得x<.故选D.

8.(5)0.5+(-1)-1÷0.75-2+(2)=(　A　)

(A)     (B)       (C)-        (D)-

解析:原式=()2×0.5-()2+()=-+=.故选A.

9.若+=3,a>0,则的值为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为+=3,a>0,

所以(+)2=9,a+=7,

则==.故选A.

10.设x,y是正数,且xy=yx,y=9x,则x的值为(　B　)

(A)    (B)       (C)1        (D)

解析:因为x9x=(9x)x,(x9)x=(9x)x,

所以x9=9x,

所以x8=9,所以x==.故选B.

11.()+=　        　　;=　　       　　.

解析:()+=(2-2+=2+=2+4=6;===

a=a.

答案:6　a

12.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y=　　　　. 

解析:由2x=8y+1,得2x=23y+3,

所以x=3y+3.　①

由9y=3x-9,得32y=3x-9,所以2y=x-9.　②

由①②联立方程组,解得x=21,y=6,

所以x+y=27.

答案:27

13.计算与化简:

(1)-4()-·80.25-(-2.015)0;

(2)(a>0,b>0).

解:(1)-4()-·80.25-(-2.015)0

=-4×[()2]-×(23-1

=×-4×()-(2×23-1

=22×33-4×()-1-(24-1

=4×27-4×-2-1

=98.

(2)(a>0,b>0)

=

=

=

=ab-1.

14.设+=4,x=a+3,y=b+3,求(x+y+(x-y的值.

解:令=A,=B,则

x=A3+3AB2,y=B3+3A2B,

x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3,

x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3.

所以(x+y+(x-y=(A+B)2+(A-B)2

=2(A2+B2)=2(+)=8.

应用创新

15.已知x+y=12,xy=9,且x>y,求的值.

解:因为x+y=12,xy=9,

所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=108.

因为x>y,所以x-y=6,

所以======.