北师大版 (2019)第七章 概率本章综合与测试单元测试一课一练

这是一份北师大版 (2019)第七章 概率本章综合与测试单元测试一课一练，共8页。试卷主要包含了古典概型与其他知识的交汇问题等内容，欢迎下载使用。
微专题集训七 古典概型与其他知识的交汇问题


专题1 古典概型在分层抽样中的应用


1.☉%*￥0@@657%☉(2020·四川三台中学月考改编)高二某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部都介于13秒到18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图7-1是按上述分组方法得到的频率分布直方图。从成绩介于[13,14)和[17,18]两组的人中任取2人,则两人分别来自不同组的概率为 。





图7-1


答案：0.6


解析：由题意,[13,14)组的频率为0.04,该组有0.04×50=2(人),同理[17,18]组有3人;设[13,14)组中2人分别为A,B;[17,18]组中3人分别为X,Y,Z,事件A为抽取的两人分别来自不同组,则样本点有(AB),(AX),(AY),(AZ),(BX),(BY),(BZ),(XY),(XZ),(YZ),共10种;事件A包含的样本点有(AX),(AY),(AZ),(BX),(BY),(BZ),共6种。所以P(A)=0.6。


2.☉%*7530*@#%☉(2020·四川雅安期末)调查某高中1 000名学生的肥胖情况。如表:


已知从这批学生中随机抽取1名学生,抽到偏瘦男生的概率为0.15。


(1)求x的值;


答案：解:由题意知,x1 000=0.15,


∴x=150。


(2)若用分层抽样的方法从这批学生中随机抽取100名,问应在肥胖学生中抽多少名?


答案：由题意可知,肥胖学生人数为y+z=400。


设应在肥胖学生中抽取m名,


则m400=1001 000,∴m=40。


故应在肥胖学生中抽取40名学生。


(3)已知y≥194,z≥193,求肥胖学生中男生不少于女生的概率。


答案：y+z=400,且y≥194,z≥193,满足条件的(y,z)有(194,206),(195,205),(196,204),(197,203),(198,202),(199,201),(200,200),(201,199),(202,198),(203,197),(204,196),(205,195),(206,194),(207,193),共有14组。


设事件A=“肥胖学生中男生不少于女生”,则y≤z,满足条件的(y,z)有(194,206),(195,205),(196,204),(197,203),(198,202),(199,201),(200,200),共有7组,所以P(A)=714=12。


故肥胖学生中男生不少于女生的概率为12。


3.☉%#7￥9#*16%☉(2020·南昌一模)某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情况,从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中提供的数据,解答下列问题:


(1)求a,b的值;


答案：解:a=35,b=0.30。


(2)若从成绩较好的第3,4,5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛,并从中选出2人做种子选手,求2人中至少有1人是第4组的概率。


答案：因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,第3组抽取660×30=3(人),第4组抽取660×20=2(人),第5组抽取660×10=1(人)。


设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,则从6位同学中抽取2位同学有15种可能,如下:


(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)。其中含第4组同学的有9种,所以2人中至少有1人是第4组的概率为915=35。


4.☉%@63#*0*8%☉(2020·山东陵县一中月考)某司法部门为宣传《宪法》,举办了法律知识问答活动,随机对18~68岁的人群抽取一个容量为n的样本,并将样本数据分成五组:[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68],再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组,第2组,…,第5组,绘制了如图7-2所示的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结果如表所示。


图7-2


(1)分别求出a,x的值;


答案：解:第1组人数为5÷0.5=10,


所以n=10÷(0.010×10)=100。


第2组频率为0.02×10=0.2,人数为100×0.2=20,


所以a=18÷20=0.9。


第4组人数为100×0.025×10=25,


所以x=25×0.36=9。


(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?


答案：第2,3,4组回答正确的人数的比为18∶27∶9=2∶3∶1,


所以第2,3,4组每组应各依次抽取6×26=2(人),6×36=3(人),6×16=1(人)。


(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求所抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率。


答案：记“所抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A,抽取的6人中,第2组的设为a1,a2,第3组的设为b1,b2,b3,第4组的设为c,则从6人中任取2人的所有可能的情况有15种,它们是Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c),(b3,c)}。


其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是A={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c)}。


所以P(A)=915=35。


5.☉%6￥2￥#4@2%☉(2020·湖南长郡中学月考)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155 cm~195 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165)、第三组[165,170)、…、第八组[190,195],图7-3是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第八组人数和等于第七组人数的2倍。





图7-3


(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数;


答案：解:由频率分布直方图知,前五组的频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组的频率为1-0.82=0.18,人数为0.18×50=9,


所以估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18=144。


(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;


答案：由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5=0.04,


人数为0.04×50=2。


设第六组的人数为m,则第七组的人数为9-2-m=7-m,


由m+2=2(7-m),解得m=4,


即第六组的人数为4,第七组的人数为3,频率分别为0.08,0.06。


频率除以组距分别等于0.016,0.012,补充完整的频率分布直方图如图。





(3)若从身高在第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生,记他们的身高分别为x,y,求|x-y|≤5的概率。


答案：由(2)知身高在[180,185)内的人数为4,设为a,b,c,d,身高在[190,195]内的人数为2,设为A,B。


当x,y∈[180,185)时,有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种情况。


当x,y∈[190,195]时,只有AB这1种情况。


当x,y分别在[180,185),[190,195]内时,有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,共8种情况,


所以样本点的总数为6+8+1=15。


事件|x-y|≤5所包含的样本点有6+1=7(种),


故P(|x-y|≤5)=715。


专题2 古典概型与函数方程的综合问题


6.☉%06@￥#￥25%☉(2020·南昌三中检测)已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是( )。


A.29 B.13 C.89 D.1


答案：C


解析：因为a∈A,b∈A,所以可用列表法得到构成的样本点总数为9(如表所示)。


因为A∩B=B,所以B可能为⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}。


当B=⌀时,a2-4b0,ba≥2。当a取1时,b可取2,3,4,5,6;当a取2时,b可取4,5,6;当a取3时,b可取6,共9种。


因为(a,b)的取值共36种情况,所以所求概率为936=14。


9.☉%3￥*73#9*%☉(2020·河南洛阳二模)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1。设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率。


答案：解:函数f(x)=ax2-4bx+1的图像的对称轴为直线x=2ba,要使函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数,需a>0且2ba≤1,即2b≤a。


若a=1,则b=-1;若a=2,则b=-1,1;若a=3,则b=-1,1。


所以,满足条件的事件包含的样本点个数是1+2+2=5。


而样本点总数为3×5=15,


故所求事件的概率为515=13。偏瘦
正常
肥胖
女生/人
100
163
y
男生/人
x
187
z
组号
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
5
0.05
第2组
[60,70)
a
0.35
第3组
[70,80)
30
b
第4组
[80,90)
20
0.20
第5组
[90,100]
10
0.10
合计
100
1.00



组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数


占本组的比例
第1组
[18,28)
5
0.5
第2组
[28,38)
18
a
第3组
[38,48)
27
0.9
第4组
[48,58)
x
0.36
第5组
[58,68]
3
0.2



1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)