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北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识本章综合与测试单元测试课时练习
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微专题集训一 集合、常用逻辑用语及三个二次的关系
专题1 集合中的数形结合问题
1.☉%08@4###9%☉(2020·华东师大月考)已知全集U=R,A={x|x2>1},则∁UA=( )。
A.{x|x≤1}B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≤-1或x≥1}D.{x|-1
答案：B
解析：因为A={x|x2>1}={x|x<-1或x>1},所以∁UA={x|-1≤x≤1}。
2.☉%607@##*6%☉(2020·武汉二中测试)已知集合M={x∈Z|-1≤x≤1},N={x∈Z|x(x-2)≤0},则如图1-1所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为( )。
图1-1
A.{0,1}B.{-1,2}
C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}
答案：B
解析：由题意得M={-1,0,1},N={0,1,2},M∪N={-1,0,1,2},M∩N={0,1},阴影部分为∁(M∪N)(M∩N)={-1,2},故选B。
3.☉%#*0103*@%☉(2020·辽宁实验中学月考)设集合A={x|x2+2(1-a)x+3-a≤0},B={x|0≤x≤3},若A∩B≠⌀,则实数a的取值范围是 。
答案：[2,+∞)
解析：集合A={x|x2+2(1-a)x+3-a≤0},B={x|0≤x≤3},若A∩B≠⌀,则x2+2(1-a)x+3-a≤0在x∈[0,3]有解,即(2x+1)a≥x2+2x+3在x∈[0,3]有解,设t=2x+1,则t∈[1,7],则x=t-12,则a≥t-122+2t-12+3t=14t+9t+2,设g(t)=14t+9t+2,t∈[1,7],则问题转化为a≥g(t)min,又g(t)≥142t·9t+2=2,当且仅当t=9t,即t=3时等号成立,又3∈[1,7],所以a≥2,所以实数a的取值范围是[2,+∞),故答案为[2,+∞)。
4.☉%561@###6%☉(2020·合肥一中测试)已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,5},集合S满足S⫋A,S∪B=A,则一个满足条件的集合S是 。
答案：{1,2,3,4}(或{1,2,4,5}或{1,2,4})
解析：∵集合A={1,2,3,4,5},集合S满足S∪B=A,∴满足条件的集合S是{1,2,3,4}或{1,2,4,5}或{1,2,4}。
5.☉%#@#*2647%☉(2020·太和一中月考)设全集U=R,集合M={x|3a-1
答案：解:(1)当M=⌀,即3a-1≥2a时,解得a≥1,则∁UM=R,满足条件N⊆(∁UM);
(2)当M≠⌀,即a<1时,∁UM={x|x≥2a或x≤3a-1},若N⊆(∁UM),则3a-1≥3或2a≤-1,即a≥43或a≤-12,此时a≤-12。综上,a的取值范围是a|a≤-12或a≥1。
专题2 充分必要条件、全称量词与存在量词
6.☉%0@9￥#92#%☉(2020·南昌十中月考)已知a,b,c∈R,给出下列条件:①a2>b2;②1a<1b;③ac2>bc2。则使得a>b成立的充分不必要条件是( )。
A.①B.②C.③D.①②③
答案：C
解析：对于①,由a2>b2,得|a|>|b|,不一定有a>b成立,不合题意;对于②,当a=-1,b=1时,有1a<1b,但a>b不成立,所以不合题意;对于③,由ac2>bc2,知c≠0,所以有a>b成立,当a>b成立时,不一定有ac2>bc2,因为c可以为0,符合题意。本题选择C选项。
7.☉%￥@8@635#%☉(2020·山西大学附中月考)“a≥4或a≤0”是“函数y=ax2+ax+1图像与x轴存在交点”的( )。
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：y=ax2+ax+1的图像与x轴有交点⇔ax2+ax+1=0有根。
当a=0时,不合题意;当a≠0时,Δ=a2-4a≥0⇒a<0或a≥4。
由此可知解集是{a|a≥4或a≤0}的真子集,∴“a≥4或a≤0”是“函数y=ax2+ax+1图像与x轴有交点”的必要不充分条件,本题正确选项为B。
8.☉%890*￥#7#%☉(2020·屯溪一中调考)不等式1-1x>0成立的充分不必要条件是( )。
A.x>1B.x>-1
C.x<-1或0
答案：A
解析：由1-1x>0可得1x<1,解得x>1或x<0,据此可得不等式1-1x>0成立的充分不必要条件,只有选项A符合。
9.☉%9￥36*5##%☉(2020·休宁中学调考)已知命题p:∃x∈R,x2+1<0,则命题p的否定是( )。
A.∀x∈R,x2+1>0B.∃x∈R,x2+1>0
C.∀x∈R,x2+1≥0D.∃x∈R,x2+1≥0
答案：C
解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题p:∃x∈R,x2+1<0的否定是:∀x∈R,x2+1≥0,故选C。
10.☉%@4#@99#5%☉(2020·宿城一中月考)已知p:-4
答案：-1≤a≤6
解析：由已知得A=(2,3),B=(a-4,a+4),因为q是p的充分条件,则有A∪B=B,即a-4≤2,a+4≥3,所以-1≤a≤6。
11.☉%5**23*@5%☉(2020·淮北一中月考)命题“∀x∈[-1,1],x2+3x-1>0”的否定是 。
答案：∃x∈[-1,1],x2+3x-1≤0
解析：命题“对∀x∈[-1,1],x2+3x-1>0”的否定是∃x∈[-1,1],x2+3x-1≤0。
12.☉%#3@8@72￥%☉(2020·黄冈中学检测)已知p:1x<1,q:x2-3ax+2a2<0(其中a为常数,且a≠0)。
(1)若p为真,求x的取值范围;
答案：解:由1x<1,得x>1或x<0,故由命题p是真命题可得,x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞)。
(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围。
答案：
由x2-3ax+2a2<0得(x-a)(x-2a)<0,若a>0,则a
若a>0,则满足a>0,a≥1,得a≥1;若a<0,满足条件。即实数a的取值范围是a≥1或a<0。
专题3 一元二次不等式与一元二次函数
13.☉%@37*7@*9%☉(2020·枣庄八中质量检测)已知全集U=R,A={x|x>1},B={x|x2>1},那么(∁UA)∩B等于( )。
A.{x|-1
C.{x|x<-1}D.{x|x≤-1}
答案：C
解析：由题得B={x|x<-1或x>1},∁UA={x|x≤1},
∴(∁UA)∩B={x|x<-1}。
14.☉%#￥29*3@1%☉(2020·江西师大附中月考)已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=xx+1x-2≥0,则A∩(∁RB)=( )。
A.(-1,2)B.(-1,1)
C.(-1,2]D.(-1,1]
答案：D
解析：由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1,
∴A={x|x2+x-2≤0}=[-2,1]。由x+1x-2≥0,得x≤-1或x>2。
∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞)。则∁RB=(-1,2]。
∴A∩(∁RB)=(-1,1]。故选D。
15.☉%903@5#@*%☉(2020·安庆一中检测)已知a,b∈(0,+∞),且2(a+b)+1a+1b=6,则a+b的取值范围是( )。
A.[1,2]B.[12,2]
C.[1,4]D.[4,+∞)
答案：A
解析：因为2(a+b)+1a+1b=6=(a+b)2+1ab=6⇒a+b=62+1ab≤62+4(a+b)2⇒(a+b)2-3(a+b)+2≤0⇒1≤a+b≤2,故答案为A。
16.☉%7*￥5*#20%☉(2020·芜湖一中月考)已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥ma+4b恒成立,则m的最大值为( )。
A.9B.12C.16D.10
答案：C
解析：因为a>0,b>0,所以a+4b>0,所以不等式4a+1b≥ma+4b恒成立,即可转化为4a+1b(a+4b)≥m恒成立,即4a+1b(a+4b)min≥m,因为4a+1b(a+4b)=8+16ba+ab≥8+216ba×ab=16,当且仅当a=4b时取等号,所以16≥m,即m的最大值为16,故选C。
17.☉%#@149#7@%☉(2020·合肥一中月考)若ab>0,3b+4a=1,则a+b的最小值是( )。
A.43B.7+43C.83D.7+83
答案：B
解析：因为ab>0,3ba>0,4ab>0,所以a+b=(a+b)·3a+4b=3ba+4ab+7≥23ba·4ab+7=43+7,答案为B。
18.☉%4￥#8@76￥%☉(2020·华师一附中检测)已知不等式x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0的解集为集合A,集合B={x|-2
(1)若a=2,求A∪B;
答案：解:a=2时,由x2-5x+6≤0得(x-3)(x-2)≤0,则A=[2,3],则A∪B=(-2,3]。
(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围。
答案：由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x-a)(x-a-1)≤0,则A=[a,a+1]。因为A∩B=⌀,所以a+1≤-2或a≥2,得a≤-3或a≥2。
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