新教材北师大版学习笔记必修一第三章 §3 第2课时　指数函数的性质及应用【学案+同步课件】

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第2课时　指数函数的性质及应用
第三章　§3　指数函数
学习目标
1.掌握指数函数的性质.
2.学会用指数函数的性质解决求函数的定义域、值域、比较大小等问题.
导语
上节课我们学习了指数函数的定义和图象.一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以这节课我们利用指数函数的图象一起去探讨指数函数的有关性质及应用.
内容索引
与指数型函数有关的大小比较

一
知识梳理
1.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象和性质如下表.
(0，＋∞)
(0,1)
R
0y>1
y>1
0增
减
正
0
0
正
2.对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)(1)当x<0时，0___ax___bx____1.(2)当x＝0时，ax＝bx＝1.(3)当x>0时，ax____bx____1.3.对于函数y＝ax和y＝bx(00时，0___ax____bx____1.
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(1)研究性质注意底数的变化.(2)研究指数型问题注意性质与图象的结合.
注意点：
　　(1)比较下列各题中两个值的大小.①1.7－2.5,1.7－3；
∵1.7>1，∴y＝1.7x在R上是增函数.又－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
②1.70.3,1.50.3；
方法一　∵1.70.3>0,1.50.3>0，
∴1.70.3>1.50.3.方法二　幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3.
③1.70.3,0.83.1.
∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，∴1.70.3>0.83.1.
(2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).
①当01时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}.
(1)比较幂值大小的3种类型及处理方法
反思感悟
(2)解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.
　　　比较下列各值的大小： ， ， .
先根据幂的特征，将这3个数分类：
(1)大于1的数： ， ；
(2)大于0且小于1的数： .
(1)中， ，故有 .
指数型函数的定义域与值域

二
　　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝ ；
x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞).
∴y＝ 的值域为(0,1)∪(1，＋∞).
定义域为R.
∴此函数的值域为[1，＋∞).
反思感悟
指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝af(x)型还是y＝f(ax)型，前者的定义域与f(x)的定义域一致，求后者的定义域时，往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性.
　　　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝ ；
∵y＝ ，∴x2－2x≥0，∴x≤0或x≥2，∴定义域为{x|x≤0或x≥2}，
∴ ≥30＝1，即y≥1，∴值域为[1，＋∞).
(2)y＝ .
∵y＝ ，∴x－1≠0，∴x≠1，∴定义域为{x|x≠1}，
∴ ≠2，且 >0，即y>0且y≠2，∴值域为(0,2)∪(2，＋∞).
指数函数性质的综合应用

三
(1)判断并证明函数f(x)的单调性；
判断：函数f(x)在R上单调递增.证明如下：设x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝m－
＝ .
∴ >0, >0, <0，
∵x1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)若f(x)是奇函数，求m的值；
∵f(x)是R上的奇函数，
∴m＝1.
(3)若f(x)的值域为D，且D⊆[－3,1]，求m的取值范围.
则D＝(m－2，m)，∵D⊆[－3,1]，
∴m的取值范围是[－1,1].
反思感悟
指数函数性质综合问题的求解策略(1)判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性相同.(2)求解与指数函数有关的函数单调性问题，应利用指数函数的单调性性质或单调性定义，对于底数不确定的要按照底数与1的大小关系分类讨论.
(1)求b的值；
因为f(x)是定义域为R的奇函数，
经检验，b＝1满足题意.
(2)判断函数f(x)的单调性；
所以 >0，
设x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝
＝ .
因为函数y＝2x在R上是增函数且x1又 >0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减.
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.
因为f(x)是奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，则f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因为由(2)知f(x)为减函数，所以t2－2t>k－2t2，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
课堂小结
1.知识清单：指数函数的性质及应用.2.方法归纳：数形结合法、换元法、分类讨论法.3.常见误区：求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0；利用单调性解决问题时，易忽视对底数的讨论.
随堂演练

A.(－∞，0) B.(－∞，0]C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
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√
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由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
2.函数y＝3－x(－2≤x≤1)的值域是
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3.设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是
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A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a
√
A.奇函数且在(0，＋∞)上单调递增B.偶函数且在(0，＋∞)上单调递增C.奇函数且在(0，＋∞)上单调递减D.偶函数且在(0，＋∞)上单调递减
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√
5.不等式4x<42－3x的解集是_________.
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课时对点练

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A.[2,4) B.[2,4)∪(4，＋∞)C.(2,4)∪(4，＋∞) D.[2，＋∞)
√
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2.设a＝0.40.2，b＝0.40.5，c＝20.1，则A.c>a>b B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b
√
∵a＝0.40.2，b＝0.40.5，c＝20.1，∴0.40.5<0.40.2<0.40＝1,20.1>20＝1，∴c>a>b.
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3.已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(0,1)
√
∵－2>－3，f(－2)>f(－3)，
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A.1 B.2 C.4 D.8
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6.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝_____.
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当a>1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数，
当07.函数y＝(a－1)x＋d－c(a>1，且a≠2)过定点(2,6)，则d＋c＝_____.
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－7
由2＋d＝0得d＝－2，由1－c＝6得c＝－5，因此d＋c＝－7.
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[4,8)
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(1)求函数f(x)的定义域；
∴函数f(x)的定义域为[0，＋∞).
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解得a＋b＝1.
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(1)求函数f(x)的定义域；
由ax－1≠0，解得x≠0.∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
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(2)判断函数f(x)的奇偶性；
＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.
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(3)若xf(x)>0在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围.
∵f(x)为奇函数，∴xf(x)为偶函数.∴xf(x)>0在其定义域上恒成立等价于f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴ax>1在x∈(0，＋∞)上恒成立，∴a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞).
11.(多选)已知函数f(x)＝ 则下列判断中错误的是A.f(x)的值域为(0，＋∞)B.f(x)的图象与直线y＝2有两个交点C.f(x)是单调函数D.f(x)是偶函数
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函数f(x)的图象如图所示，由图可知，f(x)的值域为[0，＋∞)，A错误，C，D显然错误，f(x)的图象与直线y＝2有两个交点，B正确.
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由指数函数的性质得ax12.若x>y>1,0yb B.xaby D.ax√
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由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＋f(x)＝0，
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∴－a－3·2x＋a·2x＋3＝0，∴2x(a－3)－(a－3)＝0，∴(2x－1)(a－3)＝0，∴a＝3.
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不等式即为 >3－1，则有ax2－2ax>－1，即ax2－2ax＋1>0对一切实数x恒成立，当a＝0时，满足题意，当a≠0时，要满足题意，则需a>0且Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0[0,1)
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15.定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为_____，最小值为_____.
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由3|x|＝1，得x＝0，由3|x|＝9，得x＝±2，故满足题意的定义域可以为[－2，m](0≤m≤2)或[n,2](－2≤n≤0)，故区间[a，b]的长度的最大值为4，长度的最小值为2.
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16.设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1).(1)若f(1)>0，求不等式f(－x2＋7)＋f(x－5)<0的解集；
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又a>0且a≠1，∴a>1，∴y＝ax单调递增，y＝a－x单调递减，故f(x)在R上单调递增，又∵f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)且x∈R，∴f(x)是R上的奇函数，
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由f(－x2＋7)＋f(x－5)<0，得f(－x2＋7)0，解得x<－1或x>2，∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
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则f(x)＝2x－2－x，∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)－m＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)－m＋2，令t＝2x－2－x，∵x∈[1，＋∞)，
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而t2－4t＋2＝(t－2)2－2≥－2，∴m≤－2，∴m的最大值为－2.