2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．已知圆O的方程为，直线l恒过点（1，），则“直线的斜率为”是“l与圆O相切”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

圆的方程为，表示以为圆心、半径的圆．当的斜率不存在时，的方程为，与圆：相切，当的斜率存在时，设的方程为，即，圆心到直线的距离，得，则“直线的斜率为”是“与圆相切”的充分不要条件，

故选A．

2．命题“”的否定为(   )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用全称命题的否定解答.

【详解】

因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“”的否定为.

故答案为C

【点睛】

(1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 全称命题：，全称命题的否定（）：.特称命题 ,特称命题的否定 ,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

3．已知函数，若满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

分析：由已知条件可得，函数是定义在上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定最优解的位置，从而求得范围.

详解：根据题中所给的函数解析式，可知函数是定义在上的奇函数，从而可以转化为，并且，可以判断出函数在定义域上是减函数，从而有，根据约束条件，画出对应的可行域，根据目标函数的几何意义，可知在点处取得最小值，在点处取得最大值，而边界值取不到，故答案是，故选C.

点睛：该题属于利用题的条件，求得约束条件，确定可行域，结合目标函数是分式形式的，属于斜率型的，结合图形，求得结果.

4．已知集合A={x|1＜x≤4}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（　　）

A．2，3， B．2， C． D．3，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据交集的定义写出结果．

【详解】

集合A＝{x|1＜x≤4}，B＝{1，2，3，4，5}，

则A∩B＝{2，3，4}．

故选：D．

【点睛】

本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．

5．若不等式对一切恒成立,则的取值范围是    (　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

本题是通过x的取值范围推导出a的取值范围，可先将a与x分别放于等式的两边，在通过x的取值范围的出a的取值范围。

【详解】

         ，

因为

所以

所以，解得

【点睛】

本题主要考察未知字母的转化，可以先将需要求解的未知数和题目已给出未知数区分开来，再进行求解。

6．已知变量满足约束条件，则的最小值为 ( )

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】

解：因为变量满足约束条件，，那么作图可知，目标函数过点（-1，-2）时，可知最小且为-5.

7．设集合，，则中元素的个数是（ ）

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】A

【解析】

试题分析：由，或，所以，故选A．

考点：集合的运算．

8．设全集，，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

分析: 根据题意和集合的基本运算可知1B，3∈A，3B，从而得解.

详解: 因为全集U={1，2，3，4，5}，，，

则1B，3∈A，3B，则B={2，4，5}.

故答案为：B

点睛：(1)本题主要考查交集、并集和补集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.本题运用韦恩图分析比较好.

9．若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

已知,利用基本不等式求解，等号成立的条件是x=2y=-1．

【详解】

由均值不等式，得（当且仅当x=2y=-1时等号成立）

所以.

故选D.

【点睛】

此题考查了由条件等式求取值范围问题，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，体现了消元的数学思想方法．是中档题．

10．    定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2(x1≠x2)都有，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，的取值范围是(　　)

A．[－3，－) B．[－3，－]

C．[－5，－) D．[－5，－]

【答案】D

【解析】

【分析】

根据可知函数在上是单调递减函数.根据函数关于对称可知函数关于原点对称.由此得到函数为奇函数，利用函数的奇偶性和单调性可解出题目所给不等式，由此画出有关的线性规划的可行域，将目标函数转化为斜率型的目标函数，由此求得目标函数的取值范围.

【详解】

.∵函数f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，∴f(x)为奇函数，f(x)＝－f(－x)，∴f(s2－2s)≤－f(2t－t2)⇒f(s2－2s)≤f(t2－2t)，又由题意知f(x)为R上的减函数，∴s2－2s≥t2－2t，∴(s－t)(s＋t－2)≥0，∴s≥t且s＋t≥2，或s≤t且s＋t≤2.

不等式组的解只有此时＝－.

＝＝1－，不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知∈[－，1]，从而＝1－∈[－5，－]，∴∈[－5，－]．选D.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，还考查了化归与转化的数学思想方法.形如的条件，类似于斜率的公式，当斜率小于零时，意味着函数是单调递减的.若，即斜率大于零，函数是单调递增的.这个条件还可以变形为的形式，表达的意思是一样的.

11．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，则的取值范围是

A．    

B．   

C．   

D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意可得：，

令则该函数开口向上且对称轴为，

所以结合图像观察若是的充分不必要条件，则应满足或.

考点：充分必要条件的应用.

12．已知全集，集合，集合，则集合（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

 因为已知全集 ，集合 ，集合 ，

所以，所以，故选A。

二、填空题

13．若直线经过圆的圆心，则的最小值为___________．

【答案】

【解析】

直线经过圆的圆心，所以可得，即，因此，，当且仅当时等号成立，由此可得的最小值为，故答案为.

14．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为        ．

【答案】

【解析】

试题分析：在直角坐标系内平面区域为如下图所示的三角形，由图可知，当点与平面区域内的点重合时，角最小，所以角最小时点的坐标为.

考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.

15．若，且，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】

试题分析：由，得，即，令，则，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，即当时，；故填．

考点：导数在求函数最值中的应用．

【方法点睛】本题考查消元法、导数在求函数最值中的应用，属于中档题；处理涉及两个变量的表达式的最值问题时，一般思路是先利用两个变量间的关系进行消元，使问题转化为关于一个变量的函数的最值问题，再利用基本不等式（配凑定积或定和是关键）或导数（通法）进行求解.

16．设满足约束条，则目标函数的最大值为_____．

【答案】4

【解析】

【分析】

画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

目标函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，

由图象知的斜率最大，

由得，

此时的斜率，

即的最大值为4．

故答案为：4．

【点睛】

本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.

三、解答题

17．（选修4-5：不等式选讲）

已知函数.

（Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求的最小值；

（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由得的最小值，从而有，因此有，再利用基本不等式可得的不等关系，从而得的最小值，注意等号能否取到；

（Ⅱ）由于，因此不等式可化为，从而有，然后按的正负分类讨论求出的范围，最后求交集即可．

试题解析：

（Ⅰ）当时，，

∴，∴.∴，即，当且仅当时等号成立，

∵，解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为.

（Ⅱ）∵的解集包含，当时，有，

∴对恒成立，

当时，，∴；

当时，，∴.

综上：.

18．已知函数 .

（Ⅰ）解关于的不等式 ；

（Ⅱ）若函数的最大值为，设，且，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为2

【解析】

【分析】

（1）采用零点分段的方法解不等式；

（2）计算出的最大值，再利用基本不等式求解的最小值.

【详解】

（Ⅰ）由题意

当时，，可得，即.

当时，，可得，即.

当时，，可得，即.

综上，不等式的解集为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的最大值，且，

即，当且仅当时“=”成立，

可得，即，因此的最小值为2.

【点睛】

（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时的值，再逐段分析；

（2）注意利用，求解最值.

19．    已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．

(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的函数解析式；

(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．

【答案】（1）g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋lg|a＋2|；（2）。

【解析】

【分析】

（1），利用函数的奇偶性组成方程组即可求得函数的解析式.

（2）由的在上位增函数，可得命题为真命题的条件，由为减函数可得命题为真命题的条件，从而可求命题有且只有一个是真命题，的取值范围.

【详解】

(1)因为，①

，

所以．②

联立①②解得.

(2)因为函数在区间上是增函数，

所以,且解得或且.

又由函数是减函数，得,且.

所以命题为真的条件是或且.

命题为假的条件是且；

命题为真的条件是且；

命题为假的条件是.

若为真为假，则；为假为真.

综上：命题有且只有一个是真命题时，实数的取值范围是.

【点睛】

利用函数的奇偶性建立方程组求函数解析式是求函数解析式基本方法之一，主要考查了函数奇偶性的应用.利用函数单调性求参数取值范围要注意题设中的对数中，以及中这两个条件的限制.根据命题真假得出参数范围后注意结合题意作分类讨论.

20．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)能被6整除的数一定是偶数；

(2)当时，a＝1，b＝－2；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.

【答案】见解析

【解析】

试题分析：分别确定每个命题的条件和结论然后改写成“若，则”的形式，并判断真假.试题解析：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数．真命题．

(2)若，则且真命题．

(3)已知，为正整数，若，则且，假命题．

21．已知关于的不等式：，其中m为参数.

（1）若该不等式的解集为，求的取值范围；

（2）当时，该不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析：（1）根据一元二次不等式的性质可得，解不等式即可；（2）利用分离参数思想得，求出不等式右端最小值即可.

详解：（1）由题意知，即，∴

（2）当时，

∵

∴的取值范围是：

点睛：本题考查一元二次方程与一元二次不等式的关系，考查了“分离参数法”，与基本不等式的运用解决恒成立的问题，属于基础题．

22．已知：集合，集合，求.

【答案】

【解析】

【分析】

根据负数没有平方根求出集合中函数的定义域，可确定集合,根据二次函数的性质，求出集合中函数的值域，可确定集合 ,找出与的公共部分，即可确定两集合的交集.

【详解】

是函数的定义域 

解得

即

是函数的值域，

解得  ,即

.

【点睛】

本题主要考查集合的表示方法、函数的定义域，二次函数的值域以及集合交集的定义，属于中档题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.