2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式分

一、单选题

1．已知函数，则“”是“在上的单调递增”的（    ）．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

在为单调递增，满足，

解得，∴，

当时，在上为增，

综上，在为单增时，

∴，是在为增函数的必要不充分条件．

选．

点睛：充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

2．已知集合，则等于（    ）

A．         B．         C．       D．

【答案】B

【解析】

试题分析：

所以，选B.

考点：集合运算

【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

3．已知集合，则集合等于( )

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】试题分析：因为，所以， 或，所以集合.

考点：集合间的基本运算

4．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝，x∈R}，则A∩B＝( )

A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}

C．{x|0≤x≤1} D．Φ

【答案】C

【解析】

试题分析：

考点：集合交集运算

5．已知集合,则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求集合A和集合B，然后取交集即可.

【详解】

,,

则,

故选：D

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于简单题.

6．命题“”的否定为（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题可知命题“”的否定为“”，故选D.

考点：全称命题与特称命题.

7．方程x2–1=0的解集可表示为

A．{x=1或x=–1}    B．{x2–1=0}    C．1，–1    D．{1，–1}

【答案】D

【解析】首先方程的解集中的元素是数．由x2–1=0得x=1或x=–1．所以方程x2–1=0的解集可用列举法表示为{–1，1}．故选D．

8．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A．                B．                  

C．                 D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，当时，不等式 等价于恒成立，满足题意；当时，要使得不等式恒成立，则满足且，解得，综上所述，所以要使得不等式恒成立，实数的取值范围是，故选B.

考点：不等式的恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、一元二次函数的图像与性质的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论的思想方法的应用，属于中档试题，解答中常漏掉的情形是解答的一个易错点.

9．已知集合，则（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意得，，所以 ，故选D．

考点：集合的运算．

二、填空题

10．若满足约束条件，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】作出可行域如图所示：

当直线经过A（-2，-2）点时， 值最小，

，

故答案为：

点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

11．已知函数，若，，且，则的最小值为__________．

【答案】9

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式，可求出再将乘以后应用基本不等式求得最值.

【详解】

由题意得，

∴．

∴ 当且仅当且

，即时等号成立．

∴的最小值为9．

【点睛】

利用基本不等式求最值的类型及方法

(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．

(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．

12．已知集合，集合，则=________；=________.

【答案】       

【解析】

【分析】

根据交集和并集概念直接得到结果.

【详解】

由，可得：

，

【点睛】

本题考查集合的交集和并集运算，属于基础题.

13．已知，且，则的最小值为__________．

【答案】18

【解析】 ，故所求的最小值为 .

【点睛】本题考查基本不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型. 解决本题的关键是利用化归思想将转化为，展开，再利用基本不等式求得正解.

14．已知点P(x，y)的坐标满足条件，那么点到直线的距离的最小值为______．

【答案】2

【解析】

由约束条件作出可行域如图，由图可知，当与重合时，到直线的距离最小为，故答案为.

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①                                              ；

充要条件②                                              。（写出你认为正确的两个充要条件）

【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形。

【解析】

类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在平面问 题⇒空间问题的类比推理中，一般是点⇒线，线⇒面．故两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行．一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等。

三、解答题

16．设全集为R,已知，

（1）若，求实数的取值范围

（2）若，求实数的取值范围

（3）若，求实数的取值范围

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

试题分析：（1）由可得，从而得到实数的不等式，求解的范围；（2）由说明，由集合A得到其补集，通过讨论的范围得到其取值范围；（3）由可知两集合无相同的元素，由此可得到满足的条件

试题解析：（1）由，得 ，得

（2）由，得，若符合；若时，符合；时，解得或；综上， 或

（3）由，得或，即或．

考点：集合运算、不等式解法

17．已知函数是奇函数，其中.

（1）若在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）若不等式的解集为，且，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）先根据为奇函数，得到，再由的单调性得出的取值范围；

（2）由，又解集为，可得是方程的两个正根，结合一元二次不等式及韦达定理建立不等式求出的取值范围.

【详解】

（1）是奇函数

∴，.

∴，故∵在上是增函数.

当，不满足

当，∴，∴，∴

综上：.

（2）由题意：原不等式等价于

∵

又它的解集为，是方程的两个正根

∴     ∴

又∵，∴

∴，∴，

∴或（舍去）

∴的值.

【点睛】

本题考查函数奇偶性、单调性和一元二次不等式的综合应用，属于综合题.

18．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由时，，，即可求解；（2）由，分和两种情况讨论，即可求解实数的取值范围．

试题解析：（1）当时，，，．

（2）①若，则，即．

②若，则，即．综合知．

考点：集合的运算．

19．已知命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】

试题分析：由，得-2≤x≤10．由于p是q的充分不必要条件，可得[-2，10]⊊[1-m，1+m]．即可得出实数的取值范围

试题解析：由，得，

，得，

因为若是的充分不必要条件，

所以．

则或 解得．

故实数的取值范围为.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

20．若已知，写出所有满足条件的集合.

【答案】,

【解析】

试题分析：

试题解析：

∵

∴,

21．已知函数．

（1）当时，求关于的不等式的解集；

（2）若，求关于的不等式的解集．

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）当时，解关于的一元二次不等式，即得到不等式的解集；（2）将因式分解为，由于，分别讨论，，时所对应的不等式的解集即可．本题第（1）问重点考查一元二次不等式的解法，解一元二次不等式时注意与相应二次函数、相应一元二次方程的结合，采用数形结合的方法解题；第（2）问重点考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论，采用数形结合的方法解此类一元二次不等式，对参数的讨论要做到不重不漏．

试题解析：（1）当时有：即：解得：

故不等式的解集为

（2）

讨论：①当时，，不等式解为；

②当时，，不等式解为；

③当时，， 不等式解为；

综上：当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时， 不等式解集为；

考点：1．一元二次不等式的解法；2．含参不等式的分类讨论．

22．设函数，已知不等式的解集为.

（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；

（2）若对任意的实数都成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【详解】

试题分析：（1）首先根据不等式的解集求得的值，然后求出函数的最小值，从而求得的取值范围；（2）首先将问题转化为，然后根据函数的单调性求得的取值范围．

试题解析：已知，解为1,3，则

（1），所以，

（2）恒成立，

因为在单调递增，

最小值在时取到，最小值为，

故.

考点：1、不等式恒成立问题；2、函数的单调性．

【方法点睛】

在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调或基本不等式进行求解，在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答．

23．设全集为，集合,.

（1）；

（2）已知，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】

（1）可解出A＝{x|x≤﹣3，或x≥6}，，然后进行交集、补集的运算即可；

（2）根据C⊆B可讨论C是否为空集：C＝∅时，2a≥a+1；C≠∅时，，从而可求出实数a的取值范围．

【详解】

（1）由题或，

 ，

 或，

∴或.

（2）∵,

①若时，，即满足题意.

②若时，，即.

若，则 ，即，

又∵，∴，

综上所述，即可.

【点睛】

本题考查交集、补集的运算，集合的化简，涉及一元二次不等式和绝对值不等式的解法，当涉及子集的问题时，要注意空集，属于中档题．