2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．如果，那么下列不等式成立的是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

若，则，即，故错误；，故错误；在时，不成立，故错误；，故正确，故选D.

2．若x＞1，则有（   ）

A、最小值1        B、最大值1        C、最小值﹣1          D、最大值﹣1

【答案】A

【解析】

试题分析：若，则，当且仅当时，取等号．故有最小值为1．

考点：基本不等式．

【易错点睛】利用基本不等式求最值，前提各数均为正数，若两数都是负数，则乘以负一之后再利用基本不等式解决，不能确定正负时则需要进行分类讨论，利用基本不等式时，需要验证等号是否成立，连续使用基本不等式时，一定要保证等号的一致性，即最值能否取到，总之，利用不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件．

3．若，则下列不等式一定成立的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

∵，

∴，

∴，

故选：A.

4．设，为常数,则的最小值是(  )

A．4ab B．2(a2+b2)

C．(a+b)2 D．(a-b)2

【答案】C

【解析】

【分析】

把变形为，用基本不等式可以求的最小值.

【详解】

，

又，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为. 故选C.

【点睛】

应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

5．已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B子集的个数为(　　)

A．10 B．16 C．8 D．7

【答案】C

【解析】

因为A＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的个数为23＝8，故选C.

点睛：若集合有个元素，则的子集个数为，其中包括空集和集合本身．

6．若集合，且，则集合可能是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

∵

∴

∵集合

∴选项满足要求

故选A.

7．命题“若，都是偶数，则也是偶函数”的否命题是（ ）

A．若，都是偶数，则不是偶数

B．若，都不是偶数，则不是偶数

C．若，都不是偶数，则是偶数

D．若，不都是偶数，则不是偶数

【答案】D

【解析】

试题分析：条件和结论同时进行否定，则否命题为:若，不都是偶数，则不是偶数

考点：四种命题

8．若，，则是的（   ）

A． 充分不必要条件                       B． 必要不充分条件

C． 充要条件                             D． 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：因为得：，因此，反之不成立，所以是成立的充分不必要条件，由互为逆否命题的关系知，是的充分不必要条件，故选A．

考点：充分必要条件．

9．设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（ ）

A．为真    B．为假    C．为假    D．为真

【答案】C

【解析】

试题分析：因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.

考点：1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.

10．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用一元二次方程的解法求出集合B，由交集的运算即可求出。

【详解】

由，，知.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法以及交集的运算。

11．已知为两个非零向量，设命题，命题与共线，则命题是命题成立的（ ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：由，故是充要条件，故选C．

【考点】本题主要考查平面向量数量积与充分必要条件．

12．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（ ）

A．p为真 B．￢q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真

【答案】D

【解析】

由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题

由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题

考查四个选项，C选项正确，

故选C

二、填空题

13．已知正四棱柱的底面边长为，高为，其所有顶点都在球的球面上，若该正四棱柱的侧面积为4，则球的表面积的最小值为__________．

【答案】

【解析】

正四棱柱的侧面积为，体对角线长为外接球O的直径，所以，所以，则球的表面积为，所以球的表面积的最小值为。

点睛：本题主要考查了正四棱柱的外接球的表面积和基本不等式的应用，属于中档题。应用基本不等式求球的表面积的最小值是解题的关键。

14．若，，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

当m=0时，符合题意。

当m≠0时,，则0<m<4，

则0⩽m<4

答案为：.

点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上大于0的恒成立问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：

一是，开口；

二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；

三是，判别式，决定于x轴的交点个数；

四是，区间端点值.

15．已知实数x、y满足三个不等式：则的最大值是_______..

【答案】3

【解析】

【分析】

先画出二元一次不等式组表示的平面区域ABC，然后令，则，画出函数的图象，当函数与AB相切时z最大，从而利用判别式求出z的最值．

【详解】

先画出区域， 
表示图中阴影部分及为三角形ABC
令，则
画出函数的图象，当函数与AB相切时z最大
，即，
只有一个根，则，即，
的最大值是3 ，
故答案为3.

【点睛】

本题主要考查了简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，考查了数形结合思想，属于综合题．

16．若函数是偶函数，对任意都有，且时，，则方程的实根个数为_________．

【答案】9

【解析】

试题分析：根据函数为偶函数，由时，，可得出时，，根据可知函数为周期是2的周期函数，作出函数的图象，与的函数图象，如下图，两个函数图象有9个交点，∴方程实根的个数为10个．

考点：函数的零点与方程的根

点评：解本题的关键是根据函数的奇偶性和周期性作出函数的图象，利用数形结合的方法，由函数图象的交点个数得到方程根的个数．

三、解答题

17．已知或;

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由两集合并集为,可得关于的不等式组，解得范围；（2）由，可得关于的不等式，解得的值范围．

试题解析：

解：（1）因为，所以       

即       

（2）因为

即                 

所以                   

综上知                      

考点：集合的运算

18．已知集合，函数的定义域为。

（1）若求集合；

（2）若，求实数的值。

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）对数的真数大于零；（2）按与的大小分类讨论求解.

【详解】

（Ⅰ）由，得，

故集合；

（Ⅱ）由题可知，

①若，即时，，

又因为，所以，无解；

②若时，显然不合题意；

③若，即时，，

又因为，所以，解得．

综上所述，．

【点睛】

本题考查函数的定义域和集合的运算. 求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、中.

19．已知函数．

（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；

（2）当时，若对任意的，总存在使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）在上存在零点，只需即可；

（2）本问是存在性问题，只需函数的值域为函数的值域的子集即可．

试题解析：（1）的对称轴为，所以在上单调递减，且函数在存在零点，所以即解得．

故实数的取值范围为．

（2）由题可知函数的值域为函数的值域的子集

，

以下求函数的值域：

①时，为常函数，不符合题意；

②，，∴解得；

③，，∴解得．

综上所述，的取值范围为．

考点：1.函数的零点；2.恒成立问题．

20．（本小题12分）已知函数

（1）当时，求方程的解；

（2）若方程在上有实数根，求实数的取值范围；

（3）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）实数a的取值范围为[－8，0]；（3）实数m的取值范围为．

【解析】试题分析：（1）实为一元二次方程求解；（2）结合函数的图像，方程在上有实数根，需有求解即可；（3）若对任意的，总存在，使成立等价于函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．从而将问题转化为由集合间的关系求参数范围．

试题解析：（1）当时，方程为，

解得

（2）因为函数＝x2－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，

所以在区间[－1，1]上是减函数，

因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：

即，解得，

故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．…7分

（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．

＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g（x）＝mx＋5－2m的值域．

①当m＝0时，g（x）＝5－2m为常数，不符合题意舍去；

②当m＞0时，g（x）的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3] [5－m，5＋2m]，

需，解得m≥6；

③当m＜0时，g（x）的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3] [5＋2m，5－m]，

需，解得m≤－3；

综上，m的取值范围为．

考点：解一元二次方程；由有解问题求参数范围；由存在性、任意性求参数范围．

【方法点睛】由方程有解为条件求参数范围，常有两种方法：对于一元二次方程求参数范围，可考虑函数图像特征，由一元二次方程根的分布求解即可，如本题解法即是．‚对于任意方程有解求参数，常将参数移到一边，从而转化为函数值域问题．本题可另解，在上的值域即为所求．

21．21．(本小题满分16分，每小题8分)

解下列不等式：

(1) ； (2) log73x < log7(x2-4)．

【答案】（1）

（2） x>4

【解析】(1) 解：3x+1≥x-2，·················································································· 5分

．············································································ 8分

(2) 解：·················································································· 4分

分别得：x > 0；x <-2或x> 2；x <-1或x > 4，································ 6分

解得：x > 4．·········································································· 8分

22．某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为元，每生产件，需另投入成本为元，每件产品售价为元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．

（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式；

（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．

【答案】（1）；（2）每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大为.

【解析】

【分析】

（1）根据（利润）（总售价）（总成本），将利润写成分段函数的形式；（2）计算利润的分段函数的每一段的最值，然后再进行比较求得利润最大值.

【详解】

（1）因为每件产品售价为元，所以件产品售价为元；当时， ；当时，；

所以： ；

（2）当时，，当时有最大值；

当时，，取等号时，即时，有最大值；

且，所以当每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.

【点睛】

本题考查函数的实际应用，难度一般.求解分段函数的最值时，必须要考虑到每一段函数的最值，然后再比较每段最值的大小，取得最后的结果；运用基本不等式的时候，要注意取等号的条件.