2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习

集合、简易逻辑与不等式

一、单选题

1．若变量满足约束条件,则的最大值是（  ）

A． B．0 C． D．

【答案】D

【解析】

作出约束条件的可行域如图：

则满足条件的区域为三角形，平移直线可知经过点时，目标函数取最大值，为.

故选D.

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

2．设满足约束条件则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

作可行域，则直线过点A（3，3）时取最大值9，过点B 时取最小值，即值域为，选D.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

3．不等式表示的平面区域是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

取测试点，排除A、C．又边界应为实线，故排除D得解.

【详解】

取测试点，排除A、C．又边界应为实线，故排除D．故选B．

【点睛】

(1)本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 作二元一次不等式表示的平面区域的方法,直线定界：画直线（注意实线和虚线之分，如果二元一次不等式有等号，则画成实线，否则画成虚线）→特殊点定域：取特殊点代入二元一次不等式，如果满足，则点所在的平面区域就是表示的平面区域，否则是点所在的平面区域的另一侧的平面区域.

4．若，则下列不等式不恒能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式的基本性质与作差法可判断出各选项中的不等式能否恒成立.

【详解】

，，则，，A选项中的不等式能恒成立；

，，，则，

，B选项中的不等式不成立；

，，即，且有，C、D选项中不等式恒成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用不等式的基本性质和作差法判断不等式的正误，考查推理能力，属于基础题.

5．已知集合,那么=（    ）

A．{2,4} B．{0,2,4} C．{1,2,3,4,5} D．{2,4,6}

【答案】B

【解析】

【分析】

解不等式化简集合的表示,用列举法表示集合,最后根据集合交集运算的定义求出

.

【详解】

因为,

所以.

故选：B

【点睛】

本题考查了集合交集运算的定义,属于基础题.

6．给出如下四个命题：

①命题p：∃x0∈R，x+x0﹣1＜0，则非p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0；

②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；

③四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc；

④在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充分不必要条件

其中正确的命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

试题分析：①根据含有量词的命题的否定进行判断．

②根据否命题的定义进行判断，

③由等比数列的性质，实数a、b、c、d依次成等比数列⇒ad=bc，反之，举出反例，判断即可；进而可判断其正确与否；

④根据充分不必要条件进行判断．

解：①命题p：∃x0∈R，x+x0﹣1＜0，则非p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0；正确，故①正确，

②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2或y＜3，则x+y＜5”；故②错误，

③由等比数列的性质，实数a、b、c、d依次成等比数列⇒ad=bc，

反之，若a=0，c=0，ad=bc=0，但实数a、b、c、d不符合等比数列的定义，

故四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc，正确；故③正确，

④若A=150°＞45°，则sinA=＜，即“A＞45°”不是“”的充分条件，错误；故④错误，

故选：B

考点：命题的真假判断与应用．

7．使得函数有零点的一个区间是（ ）

A．（0，1）    B．（1，2）    C．（2，3）    D．（3，4）

【答案】C

【解析】

解：因为f(x)是递增函数，并且f(2)<0,f(3)>0，因此零点的一个区间是(2，3)　，选C

8．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A．                B．                  

C．                 D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，当时，不等式 等价于恒成立，满足题意；当时，要使得不等式恒成立，则满足且，解得，综上所述，所以要使得不等式恒成立，实数的取值范围是，故选B.

考点：不等式的恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、一元二次函数的图像与性质的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论的思想方法的应用，属于中档试题，解答中常漏掉的情形是解答的一个易错点.

二、填空题

9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1的导函数为f′（x），f′（0）＞0，f（x）与x轴恰有一个交点，则的最小值为_________．

【答案】2

【解析】

，又0,0

又已知与轴恰有一个交点，

当且仅当=，即=++12+1=1+1=2,时取等号，

的最小值为2

故答案为2

点睛：运用函数与轴的交点个数求出、的关系，结合不等式的知识点来求出最值。

10．给出下列四个命题：

①若，且则；

②设，命题“若”的否命题是真命题；

③函数的一条对称轴是直线；

④若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有.

其中，所有正确命题的序号是        .

【答案】②④

【解析】试题分析：当时，不一定大于零，①错误；命题若的否命题若，

则正确，②对； 的对称轴，得，，不满足，③错；定义在上的函数是奇函数满足，以代换得

，④对；故答案为②④．

考点：命题的真假性的判断．

11．设等差数列的前项和为，，，则取得最小值的值为________．

【答案】2

【解析】

【分析】

求出数列的首项和公差，求出的表达式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等号成立时的值，于此可得出答案。

【详解】

设等等差数列的公差为，则，解得，

所以，，

所以，，

等号成立，当且仅当时，等号成立，但，

由双勾函数的单调性可知，当或时，取最小值，

当时，；当时，，

，因此，当时，取最小值，故答案为：。

【点睛】

本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式与双勾函数求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”这三个条件，在等号不成立时，则应考查双勾函数的单调性求解，考查分析能力与计算能力，属于中等题。

12．若函数有两个零点，则应满足的充要条件是         .

【答案】

【解析】

函数有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点。函数的图象如下：

因为当时，，此时函数图象不断接近直线但不相交，由此可得，解得

13．若为等比数列，，且，则的最小值为________

【答案】4

【解析】

为等比数列，，

公比

，

，

当且仅当，即时取等号

的最小值为

14．已知,求实数的值=______________．

【答案】-1

【解析】

或或 ，若，则，此时集合中有两个零，不符合元素的互异性，舍去. 若，则，当时，不符合元素的互异性，舍去. 当时，集合为，符合题意. 当时，则或，由上述可知两者均不符合题意，都舍去,所以,故答案为-1.

15．变量 x， y 满足，则的最大值为___________

【答案】9

【解析】

作出可行域，

当直线经过点D时，z取到最大值，即z=9

故答案为：9

点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

16．已知函数的图像过点，则此函数的最小值是_____．

【答案】6

【解析】

【分析】

把点坐标代入函数解析式，得参数的值，然后变形后由基本不等式得最小值．

【详解】

∵函数图象过点，

∴，，又，

∴，当且仅当，即时，取等号．

∴的最小值是6．

故答案为6．

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，解题关键是凑配出应用基本不等式的条件，即积为定值，和才有最小值，当然正数也要满足．

17．若x，y满足，则的最小值为____

【答案】2

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．

【详解】

画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．

由可得．

平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．

由 解得，

所以点A的坐标为．

所以．

故答案为2．

【点睛】

利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．

18．设集合，对的任意非空子集，定义中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则①   ；②     。

【答案】①；②

【解析】

试题分析：根据题意，集合的子集有个，非空子集有个，在所有非空子集中，每个元素出现次，所有个子集含含，有个子集不含，含，有个子集不含，含，有个子集不含，而含，所以，利用错位相减法求得：，所以，.

考点：1.集合的子集；2.数列求和.

三、解答题

19．已知.

（1）求证：；

（2）求证：.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：

(1)利用题意结合均值不等式的结论证得，结合不等式的性质即可证得结论；

(2)由题意结合均值不等式的结论证明题中的表达式即可.

试题解析：

解：（1）, ,,即.(另外，作差法亦可，左—右=不等式成立)

（2）要证，只需证，只需证，

，即，原不等式成立.

20．已知，解关于的不等式.

【答案】当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为．

【解析】

试题分析：，即不等式为一元二次不等式，所以有方程的两根为，对，，及分别进行讨论并求得解集即可．

试题解析：①当时，，且原不等式可化为，其解集为；

②当时，，且原不等式可化为，其解集为；

③当时，，且原不等式可化为，其解集为.

考点：解含参数的不等式.

21．设全集U=R，A=，B=。求：

（1）（2）（3）（4）.

【答案】（1）（2）；

（3）或；（4）或．

【解析】

试题分析：（1）由A与B，求出两集合的交集即可；（2）由A与B，求出两集合的并集即可；（3）由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；（4）由全集U=R，求出A的补集与B的补集，找出两补集的交集即可

试题解析：由题

（1）

（2）；

（3）或，

∴或；

（4）或，或，

∴或．

考点：交、并、补集的混合运算

22．设为集合的子集，且，若，则称为集合的元“大同集”.

（1）写出实数集的一个二元“大同集”；

（2）是否存在正整数集的二元“大同集”，请说明理由；

（3）求出正整数集的所有三元“大同集”．

【答案】（1）；（2）不存在，理由详见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用集合的元“大同集”的定义能求出实数集的一个二元“大同集”．

（2）由两个不同的正整数之和不等于两个不同的正整数之积，得到不存在正整数集的二元“大同集”．

（3）设正整数集的三元“大同集”为．则，利用列举法能求出正整数集的所有三元“大同集”．

【详解】

解：（1）∵设为集合的2元“大同集”.

则，

当时，，得

实数集的一个二元“大同集”为．

（2）不存在正整数集的二元“大同集”，

两个不同的正整数之和不可能等于两个不同的正整数之积，

不存在正整数集的二元“大同集”．

（3）设正整数集的三元“大同集”为．

则，

利用列举法得，，的值分别为1，2，3，

正整数集的所有三元“大同集”为．

【点睛】

本题考查二元大同集、三元大同集的判断及求法，考查新定义、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

23．若关于的方程有实根.

（1）求实数的取值集合;

（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)由二次方程有根，得，则，用零点分段讨论法解绝对值不等式即可.

(2)题中不等式可看作关于的一次不等式，则由题意可得关于的不等式，解之即可.

【详解】

（1）由题意得，则.

若，则，得；

若，则，恒成立，得；

若，则，得.

综上，实数的取值集合.

（2）令，

由题意得，存在，使得成立.

所以，即.

解得，即.

【点睛】

本题考查绝对值不等式和一元二次不等式的综合问题，涉及存在性问题的求解和变量转换法的应用.