2020届二轮复习集合、简易逻辑与不等式作业(1) 练习
展开集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
试题分析：根据所给的原命题，看清题设和结论，把原命题的题设和结论互换位置，得到要求的命题的逆命题．
根据逆命题是把题设和结论互换位置，可得选项D正确.
考点：命题
2．已知集合，集合，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：,,易得答案选A．
考点：集合的运算
3．集合A ="{x" ︳－1≤x≤2} ,B =" {x" ︱x＜1} ,则A ∩（B）= （ ）
A．{x ︳x＞1} B．{x ︳x≥1} C．{x ︳1＜x≤2} D．{x ︳1≤x≤2}
【答案】D
【解析】
略
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
集合，,所以，故选D.
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(p)∨(q) B．p∨(q) C．(p)∧(q) D．p∨q
【答案】A
【解析】
“至少有一位学员没有降落在指定范围”指甲没有降落在指定范围或乙没有降落在指定范围，即 ，选A.
6．若，则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意有，解得.
考点：集合元素的确定性与互异性．
7．已知为命题，则“为假”是“为假”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：因为“为假”命题时都是假命题，从而“为假”命题；但是若“为假”命题时，可以一真一假，因此“”可能为真命题，综上“为假”是“为假”的充分不必要条件，故选A.
考点：命题及复合命题的真假判断．
8．“”是直线不过第二象限的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分性与必要性的定义即可作出判断.
【详解】
直线可化为：，
直线过定点，如图所示：
∴“”是直线不过第二象限的充要条件，
故选：A
【点睛】
本题考查充分性与必要性，考查数形结合思想，属于基础题.
9．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,
,;
则,故选C.
考点：集合的运算.
10．设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为设a、b、c是互不相等的正数，则只有a-b>0时成立。
其余的直接利用绝对值的性质和均值不等式得到证明，显然成立。选C
11．若集合，，且则实数b的范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据即可得出，从而得出．
【详解】
解：，
，
．
故选：D．
【点睛】
考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．属于基础题
12．设集合，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵可得A⊆B，集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，∴a≥2. 故选A
二、填空题
13．设：，：，若是的充分而非必要条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：设，因为是的充分非必要条件，所以 ，所以，即，故答案为：。
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础．
14．已知定义在R上的单调递增奇函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数单调性和奇偶性得到，换元，利用均值不等式得到
，计算得到答案.
【详解】
定义在R上的单调递增奇函数
故即
设
变换为：
当即时等号成立，故
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，均值不等式，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.
15．已知为平面内的一个区域.:点；:点.如果是的充分条件,那么区域的面积的最小值是_________．
【答案】2
【解析】
试题分析：作出p表示的平面区域如图阴影部分，易知，,如果是的充分条件, 那么区域的面积的最小值是2
考点：线性规划、充分条件、必要条件
16．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩(∁UB)=___．
【答案】{1}
【解析】
试题分析：直接利用交、并、补集的混合运算求得答案．
解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}，
∴∁UB={1，3}，
又A={1，4}，
∴A∩∁UB={1}．
故答案为{1}．
考点：交、并、补集的混合运算．
三、解答题
17．已知函数
（1）求的取值范围；
（2）当x为何值时，y取何最大值？
【答案】（1）；（2）当时，最大为.
【解析】
【分析】
（1）设，化简，利用基本不等式可得结果；（2）欲最大，必最小，此时.
【详解】
（1）设
则：
∴ 所求为
（2）欲最大，必最小，
此时
∴当时，最大为.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
18．设集合为函数的定义域，集合为函数的值域．
求：（1）与；（2）
【答案】（1）,．(2)
【解析】
试题分析：（1）根据真数大于零得函数定义域，求得A；再根据基本不等式求函数值域得B,最后根据数轴求集合交与并（2）先求B的补集，再利用数轴求交集
试题解析：解：（1）由已知解得：，，则，．
（2）
19． 已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．
(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的函数解析式；
(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
【答案】（1）g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋lg|a＋2|；（2）。
【解析】
【分析】
（1），利用函数的奇偶性组成方程组即可求得函数的解析式.
（2）由的在上位增函数，可得命题为真命题的条件，由为减函数可得命题为真命题的条件，从而可求命题有且只有一个是真命题，的取值范围.
【详解】
(1)因为，①
，
所以．②
联立①②解得.
(2)因为函数在区间上是增函数，
所以,且解得或且.
又由函数是减函数，得,且.
所以命题为真的条件是或且.
命题为假的条件是且；
命题为真的条件是且；
命题为假的条件是.
若为真为假，则；为假为真.
综上：命题有且只有一个是真命题时，实数的取值范围是.
【点睛】
利用函数的奇偶性建立方程组求函数解析式是求函数解析式基本方法之一，主要考查了函数奇偶性的应用.利用函数单调性求参数取值范围要注意题设中的对数中，以及中这两个条件的限制.根据命题真假得出参数范围后注意结合题意作分类讨论.
20．设集合，，且.
（1）求的值及集合A，B；
（2）设全集，求；
（3）写出的所有真子集
【答案】（1），.（2）（3），，.
【解析】
试题分析: （1）由题意得2是方程的根,也是方程的根,代入方程可得.再解一元二次方程得A，B；验证满足.（2）先求全集,再求对应补集,最后求补集的并集,（3）所有真子集等于所有子集去掉本身,共3个,依次列举即可.
试题解析:（1）由，得2是方程和的公共解，则，解得.
此时，.
（2）由并集的概念，得.
由补集的概念，得，，
故.
（3）的所有真子集即集合的所有真子集，为：，，.
21．已知，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）化简集合，利用交集运算即可求解；（2）法一，利用补集的思想求解，求出符合的a的取值范围，对其求补集即可；法二，等价于集合中有与集合不一样的元素，即中方程有解，且至少有一解不等于或，分情况讨论即可求解.
【详解】
(1) ,
当时, ,故.
（2）(法一)若，则
∵，
∴集合 有以下三种情况:
①当 时，，即，
∴或.
②当是单元素集时，，或.
若，则，不符合题意；若，则.
③当时，是方程的两根，
∴，解得.
综上可得a的取值范围为.
(法二)∵，
又∵
∴中方程有解，且至少有一解不等于或.
∴，即.
此时，可分三种情况:
①当时， ,满足；
②当时，，不合题意；
③当时，中有两个元素，若，则，故.
综上，实数a的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查已知两集合的关系求参数，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，属于基础题.
22．已知命题；命题表示焦点轴上的椭圆，若，求实数的取值范围.
【答案】1<k<3
【解析】
解：若p为假，则-1<k<3,若q为真，则1<k<5,因为
所以1<k<3.
