2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 练习
展开集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．定义在R上的偶函数，当时，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，有函数解析式可知函数为增函数，的解为，又为偶函数，所以在图像关于y轴对称，因此的取值范围是
考点：1.函数奇偶性；2.函数单调性解不等式
2．（2013•成都）一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【解析】
试题分析：先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9，
∵9＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
考点：根的判别式．
3．已知实数满足不等式组，则的最大值为
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
绘制不等式组表示的可行域，目标函数表示可行域内的点与点之间连线的斜率，则目标函数在点处取得最大值：.
本题选择B选项.
点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
4．若，满足约束条件，则的最大值与最小值的和为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
由题意，可作出约束条件的可行域图，如图中的阴影部分，将目标函数转化为，并作出其平行直线，在可行域范围内进行平移，从而可发现，当直线过顶点时，有，当直线过顶点时，有，从而有.故选C.
5．设全集是实数集，与都是的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：集合，图中阴影部分表示，，所以.
考点：集合的运算.
6．对于任意实数a、b、c、d，命题:①若a＞b，则＜；②若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d；③若，则；④若，则．其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：①若，显然不成立；②若，显然不成立；③若，不成立，故选D
考点：不等式的基本性质．
7．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，．
或．∴．
综上所述，故选．
8．已知e1，e2为平面上的单位向量，e1与e2的起点均为坐标原点O，e1与e2夹角为.平面区域D由所有满足的点P组成，其中 ，那么平面区域D的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
设，则
因为，所以，围成一个三角形，面积为，选D.
9．已知，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，化简可得，故，即，当且仅当是等号成立，即的最小值是8，故选C.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
10．若直线与不等式组表示的平面区域无公共点,则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：作出不等式组所表示的平面区域为三角形，且，，，因为直线不在该区域内，所以
或，即或这两个不等式组所表示的平面区域如下图所示三角形区域，其中，，由此可知的值为，最小值为,所以的取值范围为，故选B．
考点：线性规划．
11．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，故为假命题，为真命题.因为，，所以命题：，为假命题，所以为真命题，则为真命题，故选A．
12．已知集合，，若,则实数的取值可以为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由A∩B＝A，得A⊆B，得a＜﹣1，结合选项得a＝﹣2．
【详解】
∵A∩B＝A，∴A⊆B，∴a＜﹣1，∴a＝﹣2．
故选：A．
【点睛】
本题考查集合间的基本关系的应用，属基础题．
二、填空题
13．设是非空集合，定义．已知集合,则＝__________________.
【答案】
【解析】
,
则
14．下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______
∵
即……①
即……②
即……③
∵ 可证得……④
【答案】③
【解析】
【分析】
由于，所以所以即.
【详解】
由于，，
所以即，所以第③步推理错误.
【点睛】
本题考查不等式8条基本性质，其中出问题的是不等式两边同时乘以一个负数，不等号要改变方向.
15．设A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，A∩B＝∅，则a的取值范围是________．
【答案】(1,2)
【解析】
画数轴，可得,解得1＜a＜2,故填(1,2).
点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
16．关于的不等式的解集是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到和的值，得到答案.
【详解】
因为关于的不等式的解集是，
所以关于的方程的解是，
由根与系数的关系得，解得，
所以.
【点睛】
本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题.
三、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）分三段讨论函数的单调性进而求出最小值；（2）左边变形为利用基本不等式可证.
试题解析：（1），所以在单调递减，在上单调递增，所以，所以．
（2）只需证，即证.
考点：1、分段函数求最值；2、基本不等式的应用.
18． 已知p：|x－8|≤2，q：，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若r是p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．
【答案】
【解析】
试题分析：可分别求出为真时的对应的的集合，利用充分必要条件与集合之间的包含关系得参数的不等关系.
试题解析：命题p：{x|6≤x≤10}；命题q：{x|x>1}；命题r：{x|a<x<2a}．若记以上3个命题中x的取值构成的集合分别为A，B，C，由于r是p的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，所以有A⊆C⊆B，结合数轴应有解得5<a<6，即a的取值范围是5<a<6.
19．已知集合，，求.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合A，B的意义，求出集合A，B，再根据交集的运算求得结果即可．
【详解】
对于集合A， ，
对于集合B，当x<1时，故B＝；
故A∩B＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了交集的运算，准确计算集合A,B是关键，是基础题．
20．解关于的不等式．
【答案】见解析.
【解析】
试题分析：等式等价于，即，可化为，讨论和0求解即可.
试题解析：
不等式等价于，
即，可化为，
当时，，解得；
当时，
∵方程的两根为，，
∴当时，解得或；
当时，解得，
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
点睛：
（1）解答本题时要注意分类讨论的运用，根据实数的不同的取值得到不同的集合；另外还应注意转化思想的运用，在本题中将分式不等式转化为一元二次不等式求解．
（2）对于二次型的不等式，要注意二次项系数是否为0，是被容易忽视的问题．
21．有定点P（6，4）及定直线l：y=4x，Q是l上在第一象限内的点．PQ交x轴的正半轴于M点，问点Q在什么位置时，△OMQ的面积最小，并求出最小值．
【答案】40
【解析】
【分析】
设出Q点坐标，写出直线PQ的方程，令x=0求出OM，利用三角形OMQ的OM上的高为Q的纵坐标，则根据三角形的面积公式表示出面积，然后利用基本不等式求出面积的最小值即可．
【详解】
解：设Q（a，4a），则直线PQ的方程为y﹣4=（x﹣6），
令y=0，得到x=OM=，
所以当a＞1，即a+1＞0，a﹣1＞0时，
△OMQ的面积S=××4a=10×[]=10×[（a﹣1）+]+20≥10×2+20=40，当且仅当（a﹣1）=时（a=2）取等号；
所以当Q的坐标为（2，8）时，面积S的最小值为40．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式；直线的一般式方程．
22．已知集合A可表示为{a,a2,},求实数a应满足的条件.
【答案】a≠0,a≠1,a≠-1.
【解析】
分析：利用元素的互异性求解．
详解： 由题意可得A={a,a2,},由集合中元素的互异性可得,解得a≠0,a≠1,a≠-1.故实数a应满足的条件为a≠0,a≠1,a≠-1.
点睛：本题考查集合中元素的互异性，由集合中元素两两不等，可得的范围．
