高中人教版新课标A1.2排列与组合课堂检测

1-2-2-2 组合的综合应用

[综合训练·能力提升]

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏灯不相邻，则不同的亮灯方案有

A．60种　  　B．20种　　   C．10种　  　D．8种

解析　四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，有C＝10种方案．

答案　C

2．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A．140种     B．120种      C．35种      D．34种

解析　分三种情况：①1男3女共有CC种选法．②2男2女共有CC种选法．③3男1女共有CC种选法，则共有CC＋CC＋CC＝34种选法．

答案　D

3．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有

A．120种     B．48种      C．36种      D．18种

解析　最后必须播放奥运广告有C种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种，故共有CCA＝36种不同的播放方式．

答案　C

4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A．60种     B．63种      C．65种       D．66种

解析　和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数有C＝1种取法，取2个奇数2偶数有C·C＝60种取法，取4个数均为奇数有C＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法．

答案　D

5．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为

A．144      B．120       C．72          D．24

解析　三人全相邻的坐法，采用捆绑法，将三人“绑在一起”，相当于一个元素在四个位置中选一个，而三人要全排列，共有CA＝24种；

只有2人相邻的坐法，从三人中任选两人，将这两人“绑在一起”，分类讨论：

①若这两人坐(12)位，则第三人只能在4，5，6位中选一个位置，有3种坐法；

②若这两人坐(23)位，则第三人只能在5，6位中选一个位置，有2种坐法；

③若这两人坐(34)位，则第三人只能在1，6位中选一个位置，有2种坐法；

④若这两人坐(45)位，则第三人只能在1，2位中选一个位置，有2种坐法；

⑤若这两人坐(56)位，则第三人只能在1，2，3位中选一个位置，有3种坐法；

这样只有2人相邻的坐法(这两人要全排列)共有CA(3＋2＋2＋2＋3)＝72种坐法；

3人的所有可能的坐法为A＝120种；

综上可知，任何2人不相邻的坐法种数为120－24－72＝24(种)．

答案　D

6．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有

A．120种      B．5种       C．240种       D．180种

解析　先从5本中选出2本，有C种选法，再与其他三本一起分给4人，有A种分法，故共有C·A＝240种不同的分法．

答案　C

二、填空题（每小题5分，共15分）

7．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案(用数字作答)．

解析　这里A，B，C三门课程“至多选一门”，即A，B，C三门课程都不选，或A，B，C这三门课程恰好选一门，所以分两类完成：

第1类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同选修方案；

第2类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C·C种不同选修方案．

故共有C＋C·C＝75种不同的选修方案．

答案　75

8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．

解析　两老一新时，有C×CA＝12种排法；两新一老时，有C×CA＝36种排法，故共有48种排法．

答案　48

9．从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每天只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有________种．

解析　当所选4人中没有甲乙时，方案有A种；当所选4人中只有甲乙中一人时，方案有CCCA种；当所选4人中有甲乙两人时，方案有CAA种，所以总的方案有240种．

答案　240

三、解答题（本大题共3小题，共35分）

10．（10分）从－11，－7，0，1，2，3，4，5八个数中，每次选出三个不重复的数作为直线Ax＋By＋C＝0中的字母A，B，C的值．问斜率k小于零的不同直线有多少条？

解析　(1)从－11，－7中选出两个安排A，B，从0，1，2，3，4，5中选出一个安排C，则有CA种方法；

(2)从1，2，3，4，5中选出两个安排A，B，从余下的6个数中选出一个安排C，则有CAC种方法．

但在(2)中，当A＝1，B＝2，C＝0和A＝2，B＝4，C＝0时两条直线相同，同理，当A＝2，B＝1，C＝0时和A＝4，B＝2，C＝0时两条直线也相同，所以，一共可以组成CA＋CAC－2＝130条斜率k小于零的直线．

答案　130

11．（12分）一个质点从平面直角坐标系的原点O出发，每次沿坐标轴正方向或负方向移动1个单位，若经过8次移动，质点落在点(1，5)处，则质点做的不同运动方式共有多少种？

解析　由题意知，有两种情形：①沿x轴方向移动3次(2次正方向，1次负方向)，沿y轴正方向移动5次，共有CCC＝168种；②沿x轴正方向移动1次，沿y轴方向移动7次(6次正方向，1次负方向)，共有CCC＝56种，于是共有224种．

答案　224

12．（13分）从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则：

(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？

(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？

(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？

(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？

解析　(1)分步完成：第1步，在4个偶数中取3个，可有C种情况；第2步，在5个奇数中取4个，可有C种情况；第3步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以有C·C·A＝100 800个符合题意的七位数．

(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有C·C·A·A＝14 400.

(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的个数共有C·C·A·A·A＝5 760.

(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空的当中，共有C·C·A·A＝28 800个符合题意的七位数．

答案　(1)100 800　(2)14 400　(3)5 760　(4)28 800