数学人教版新课标A1.2排列与组合学案设计

[考纲传真]　1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

1．分类加法计数原理

完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理)

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．

3．排列、组合的定义

4.排列数、组合数的定义、公式、性质

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． (　　)

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．

  (　　)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．  (　　)

(4)kC＝nC.  (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．(教材改编)图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有(　　)

A．12　　　　　　　 B．16

C．64   D．120

B　[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B．]

3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)

A．8   B．24

C．48   D．120

C　[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有AC＝4×3×2×2＝48个．故选C.]

4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)

A．85   B．56

C．49   D．28

C　[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有CC种方法，

甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，

由分类加法计数原理，共有CC＋CC＝49种选法．

法二(间接法)：从9人中选3人有C种方法，

其中甲、乙均不入选有C种方法，

∴满足条件的选排方法有C－C＝84－35＝49种．]

5．将6名教师分到三所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．

360　[将6名教师分组，分3步完成：

第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；

第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；

第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．

根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60(种)取法．

将这三组教师分配到三所中学，有A＝6(种)分法，

故共有60×6＝360(种)不同法．]

两个计数原理的综合应用

【例1】　(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班，从甲到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有(　　)

A．12种   B．19种

C．32种   D．60种

(2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)

A．400种   B．460种

C．480种   D．496种

(1)B　(2)C　[(1)分两类：一类是直接从甲到乙，有n1＝4种方法；

另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n2＝5×3＝15种方法．

由分类加法计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故选B．

(2)完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时，A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．]

(1)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．

(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)

(1)45　54　(2)420　[(1)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．

(2)①当末位数字是0时，如图(1)所示，共有A个不同的四位偶数；

图(1)

②当末位数字是2或4或6时，如图(2)所示，共有AAC个不同的四位偶数；即共有A＋AAC＝120＋5×5×4×3＝420个无重复数字的四位偶数．]

图(2)

排列问题

【例2】　3名女生和5名男生排成一排．

(1)若女生全排在一起，有多少种排法？

(2)若女生都不相邻，有多少种排法？

(3)若女生不站两端，有多少种排法？

(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？

(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？

[解]　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法．

(2)(插空法)先排5名男生，有A种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．

(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．

法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法.

(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为A＝20 160.

(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．

法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种不同排法．

由分类加法计数原理知，共有A＋A·A·A＝30 960种不同排法．

法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A种排法，余下7个位置全排，有A种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960种排法．

法三(间接法)：8名学生全排列，共A种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A种排法，乙在最右边时，有A种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种排法．因此共有A－2A＋A＝30 960种排法．

[规律方法]　求解排列应用问题的六种常用方法

(1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A．144   B．120

C．72   D．24

(2)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为(　　)

A．24   B．18

C．16   D．10

(1)D　(2)D　[(1)先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A＝24(种)方法．故选D．

(2)分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.故选D．]

组合问题

【例3】　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有一名女生当选；

(2)两队长当选；

(3)至少有一名队长当选；

(4)至多有两名女生当选．

[解]　(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C·C＝350种．

(2)两队长当选，共有C·C＝165种．

(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C·C＋C·C＝825种．(或采用排除法：C－C＝825(种))．

(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C·C＋C·C＋C＝966种．

(1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有(　　)

A．30种   B．36种

C．42种   D．48种

(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(　　)

A．232   B．252

C．472   D．484

(1)C　(2)C　[(1)若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C种选法，9日、10日有CC种安排方法，共有CCC＝24(种)安排方法；

若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC种安排方法，共有12种安排方法；

若甲、乙都在10日值班，则共有CC＝6(种)安排方法．

所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．

(2)分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有CC＝264(种)；

第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C－3C＝220－12＝208(种)．

由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．]

排列、组合的综合应用

【例4】　(1)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲小组至少2人，乙、丙组至少1人，则不同的分配方案种数为(　　)

A．80   B．120

C．140   D．50

(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(　　)

A．240   B．204

C．729   D．920

(1)A　(2)A　[(1)先将5名同学分成3组，有两种分配方案，一是三组人数分别为2,2,1，分组方法有＝15(种)，然后将有2人的两组分给甲、乙或甲、丙，分配方法是15×(A＋A)＝60(种)；二是三组人数分别为3,1,1，分组方法有＝10(种)，然后将1人的两组分给乙、丙两组，分配方法是10×A＝20(种)．故共有60＋20＝80(种)．

(2)如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C个；如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有CA＋C个．即共有2C＋CA＝240个．]

(1)(2019·长春质检)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为(　　)

A．6   B．12

C．24   D．36

(2)(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)

(1)B　(2)660　[(1)甲和另一个人一起分到A班有CA＝6种分法，甲一个人分到A班的方法有：CA＝6种分法，共有12种分法．故选B．

(2)法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CCA＝480(种)选法．

有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CA＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．

法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，

而没有女生的选法有AC种，

故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．]

1.(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．12种   B．18种

C．24种   D．36种

D　[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．

故选D．]

2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24   B．18

C．12   D．9

B　[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]

3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)

16　[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4(种)．

根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．

法二：从6人中任选3人，不同的选法有C＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．]