高中数学人教版新课标A选修2-31.2排列与组合巩固练习

1-2-1-1 排列

[综合训练·能力提升]

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；

②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；

③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；

④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．

其中是排列问题的有

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

解析　①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．

答案　B

2．从甲、乙、丙三幅标语中选出两幅，挂在教室南北两面墙上，则不同的挂法种数共有

A．3         B．5         C．6         D．9

解析　树形图如下．

共6种．

答案　C

3．A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为

A．3       B．4          C．6           D．12

解析　列举如下：A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A.

答案　C

4．用0，1，2组成没有重复数字的三位数，共有几种不同的组法

A．3种     B．4种      C．5种         D．6种

解析　列举如下：102，120，201，210共4种．

答案　B

5．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四年贺年卡不同的分配方式有

A．6种        B．9种         C．11种        D．23种

解析　解法一　设四张贺年卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行．

用树状图表示，如图．

共有9种不同的分配方式．

解法二　让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第1步，A先拿，有3种不同的方法；第2步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第3步，剩下的两个人都各有1种取法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1＝9种不同的分配方式．

答案　B

6．用1，2，3，4，5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为

A．24        B．30        C．40        D．60

解析　先排个位，有2种排法(即排2或4)；排十位，有4种排法；再排百位，有3种排法．应用分步乘法计数原理，得符合题意的三位数个数为2×4×3＝24.

答案　A

二、填空题（每小题5分，共15分）

7．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为____．(把代号填上)

①甲乙、乙甲、甲丙，丙甲；

②甲乙，丙乙，丙甲；

③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；

④甲乙，甲丙，乙丙．

解析　这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应两种站法，故③正确．

答案　③

8．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．

解析　第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同选法，其中真分数有，，，，，，共6个．

答案　12　6

9．从0，2，3，5这4个数字中选出2个不同的数字组成两位数，并按从小到大的顺序把这些两位数排列起来，则52是第________个数．

解析　组成一个两位数分两步，第一步：选十位上的数字，有3种不同的选法，第二步：选个位上的数字，有3种不同的选法，共有3×3＝9个不同的两位数．于是52是第8个两位数．

答案　8

三、解答题（本大题共3小题，共35分）

10．（10分）写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列．

解析　画出树形图如图所示．

因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.

答案　ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc

11．（12分）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数．

(1)共能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；

(2)若组成的这样的三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．

解析　(1)组成一个三位数分三个步骤．

第一步：选百位上的数字，考虑0不能排首位，故有3种不同选法．

第二步：选十位上的数字，有3种不同选法．

第三步：选个位上的数字，有2种不同选法．

根据分步乘法计数原理，共有3×3×2＝18个不同的三位数．

画出下列树形图：

由树形图知，所有三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.

(2)直接画出树形图：

共有8个三位数，它们是201，210，230，231，301，302，310，312.

答案　(1)18个　102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321

(2)8个　201，210，230，231，301，302，310，312

12．（13分）为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？

解析　由题意知，每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明有三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3的形式．

不妨设红的3个，七个位置分别用1，2，3，4，5，6，7表示，那么红的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种，其中135，136，146，247，257，357会留下4个空，两个不相邻，两个相邻，连续的不能放一样的颜色，那么就必须一蓝一黄，剩下两个一黄一蓝放到剩下的两个不相邻的空里，各4种，147留4个空，两个两个相邻，共4种放法．

137，157，四个空中3个相邻，一个分开，各2种放法．

246，四个空都分开，有6种放法．

所以共有6×4＋1×4＋2×2＋1×6＝38(种)，

当黄或蓝有3个时，种数一样，故一共有3×38＝114种不同的放法．

答案　114种