数学选修2-31.3二项式定理习题

1-3-1  二项式定理

[综合训练·能力提升]

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是

A．－27C　   　B．27C　　  C．－9C　 　D．9C

解析　含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.

答案　D

2．在的展开式中常数项是

A．－28         B．－7         C．7         D．28

解析　Tr＋1＝C··＝(－1)k·C··x8－k，当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·＝7.

答案　C

3．(1＋x)6展开式中x2的系数为

A．15        B．20         C．30          D．35

解析　(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6，在(1＋x)6二项式展开中x2项的系数为C＝＝15，在·(1＋x)6二项式展开中x2项的系数为C＝15，所以x2的系数为15＋15＝30.故选C.

答案　C

4．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是

A．(2x＋2)5    B．2x5        C．(2x－1)5     D．32x5

解析　原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.

答案　D

5．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有

A．3项       B．4项        C．5项        D．6项

解析　Tk＋1＝C·x·x－＝C·x12－k，则k＝0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数．

答案　C

6．对于二项式(n∈N*)，有以下四种判断：

①存在n∈N*，展开式中有常数项；

②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；

③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；

④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．

其中正确的是

A．①与③     B．②与③      C．②与④     D．①与④

解析　二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．

答案　D

二、填空题（每小题5分，共15分）

7．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．

解析　Tr＋1＝C(3x)r＝C·3r·xr，令r＝2，得C·32＝54，得·9＝54，整理得n2－n－12＝0，解得n＝4.

答案　4

8．在的展开式中，中间项是________．

解析　由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.

答案　－160x3

9．230＋3除以7的余数是________．

解析　230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C·710＋C·79＋…＋C·7＋C＋3＝7×(C·79＋C·78＋…＋C)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.

答案　4

三、解答题（本大题共3小题，共35分）

10．（10分）在的展开式中，求：

(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项．

解析　(1)第3项的二项式系数为C＝15，

又T3＝C(2)4＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.

(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，

令3－k＝2，得k＝1.

所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.

答案　(1)15　240　(2)－192x2

11．（12分）在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，

(1)求r的值；

(2)写出展开式中的第4r项和第r＋2项．

解析　(1)第4r项和第r＋2项的二项式系数分别是C和C，因为C＝C，所以4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，

解得r＝4或r＝.所以r＝4.

(2)T4r＝T16＝C·(－x2)15＝－15 504x30，

Tr＋2＝T6＝C(－x2)5＝－15 504x10.

答案　(1)4　(2)－15 504x30　－15 504x10

12．(13分)已知在的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求展开式中所有的有理项．

解析　通项公式为Tk＋1＝Cx(－3)kx－＝C(－3)kx.

(1)∵第6项为常数项，

∴k＝5时，有＝0，即n＝10.

(2)根据通项公式，由题意得

令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－r.

∵k∈Z，∴r应为偶数．

于是r可取2，0，－2，即k可取2，5，8.

故第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为

C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.

答案　(1)10

(2)C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2