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数学3 勾股定理的应用课后测评
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这是一份数学3 勾股定理的应用课后测评，共12页。试卷主要包含了3 勾股定理的应用 同步练习，2D．4等内容，欢迎下载使用。
1.3 勾股定理的应用 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．某长方体的展开图中，P、A、B、C、D（均为格点）的位置如图所示，一只蚂蚁从点P出发，沿着长方体表面爬行．若此蚂蚁分别沿最短路线爬行到A、B、C、D四点，则蚂蚁爬行距离最短的路线是（ ）
A．P→AB．P→BC．P→CD．P→D
2．如图，O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上，一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点P，若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）
A．3B．5C．4.2D．4
4．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（ ）
A．10米B．6米C．7米D．8米
5．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10B．12C．13D．14
6．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（ ）
A．9mB．14mC．11mD．10m
7．已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5h后，两轮船相距（ ）
A．30海里B．35海里C．40海里D．45海里
8．如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（π取3）（ ）
A．9B．13C．14D．25
二．填空题（共4小题）
9．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为 m．
10．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
11．如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．
12．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为 cm．
三．解答题（共6小题）
13．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
14．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
15．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
16．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
17．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．
18．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A．B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH测得BC＝5千米，CH＝4干米，BH＝3千米，
（1）问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线AC的长．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：由题意得：蚂蚁爬行距离最短的路线是P→D；
故选：D．
2．解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，
又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．
故选：D．
3．解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即：折断后的竹子高度OA为4.2尺．
故选：C．
4．解：由题意得：AC＝BD＝2米，
∵AO＝8米，
∴CO＝6米，
设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：
62+（x+2）2＝82+x2，
解得：x＝6，
AB＝＝10（米），
故选：A．
5．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
6．解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故选：D．
7．解：如图，连接BC．
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5＝36（海里），18×1.5＝27（海里），
根据勾股定理得：BC＝＝＝45（海里）．
故选：D．
8．解：展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即4π≈12，矩形的宽是圆柱的高5．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线的长，即＝13．，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
10．解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
11．解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC＝×2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，
由勾股定理得：AB＝＝25π．
故答案为：25π．
12．解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
三．解答题（共6小题）
13．解：设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，
∴502+x2＝（80﹣x）2+302，
解得x＝30．
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．
14．解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB＝＝60（m），
∴CD＝2CB＝120m，
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．
15．解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，
由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，
答：最短路程是150cm．
16．解：如图所示，
根据勾股定理得，AB＝＝25cm．
答：需要爬行的最短距离是25cm．
17．解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，
设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
答：弯折点B与地面的距离为米．
18．解：（1）CH是从旅游地C到河的最近的路线，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝42+32＝25，
BC2＝25，
∴CH2+BH2＝BC2
∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，
所以CH是从旅游地C到河的最近的路线；
（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣3）2+42
解这个方程，得x＝，
答：原来的路线AC的长为千米．
1.3 勾股定理的应用 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．某长方体的展开图中，P、A、B、C、D（均为格点）的位置如图所示，一只蚂蚁从点P出发，沿着长方体表面爬行．若此蚂蚁分别沿最短路线爬行到A、B、C、D四点，则蚂蚁爬行距离最短的路线是（ ）
A．P→AB．P→BC．P→CD．P→D
2．如图，O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上，一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点P，若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）
A．3B．5C．4.2D．4
4．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（ ）
A．10米B．6米C．7米D．8米
5．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10B．12C．13D．14
6．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（ ）
A．9mB．14mC．11mD．10m
7．已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5h后，两轮船相距（ ）
A．30海里B．35海里C．40海里D．45海里
8．如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（π取3）（ ）
A．9B．13C．14D．25
二．填空题（共4小题）
9．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为 m．
10．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
11．如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．
12．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为 cm．
三．解答题（共6小题）
13．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
14．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
15．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
16．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
17．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．
18．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A．B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH测得BC＝5千米，CH＝4干米，BH＝3千米，
（1）问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线AC的长．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：由题意得：蚂蚁爬行距离最短的路线是P→D；
故选：D．
2．解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，
又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．
故选：D．
3．解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即：折断后的竹子高度OA为4.2尺．
故选：C．
4．解：由题意得：AC＝BD＝2米，
∵AO＝8米，
∴CO＝6米，
设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：
62+（x+2）2＝82+x2，
解得：x＝6，
AB＝＝10（米），
故选：A．
5．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
6．解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故选：D．
7．解：如图，连接BC．
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5＝36（海里），18×1.5＝27（海里），
根据勾股定理得：BC＝＝＝45（海里）．
故选：D．
8．解：展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即4π≈12，矩形的宽是圆柱的高5．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线的长，即＝13．，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
10．解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
11．解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC＝×2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，
由勾股定理得：AB＝＝25π．
故答案为：25π．
12．解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，
故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
三．解答题（共6小题）
13．解：设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，
∴502+x2＝（80﹣x）2+302，
解得x＝30．
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．
14．解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB＝＝60（m），
∴CD＝2CB＝120m，
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．
15．解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，
由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，
答：最短路程是150cm．
16．解：如图所示，
根据勾股定理得，AB＝＝25cm．
答：需要爬行的最短距离是25cm．
17．解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，
设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
答：弯折点B与地面的距离为米．
18．解：（1）CH是从旅游地C到河的最近的路线，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝42+32＝25，
BC2＝25，
∴CH2+BH2＝BC2
∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，
所以CH是从旅游地C到河的最近的路线；
（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣3）2+42
解这个方程，得x＝，
答：原来的路线AC的长为千米．
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