四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题2理

四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题（2）理

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数，则复数的虚部为

A． B． C． D．

2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间的人数为

A．10 B．11 C．12 D．13

3．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是

A．残差平方和变小 B．相关系数变小

C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱

4．等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比等于

A．1 B． C．- D．2

5．函数的图象大致为

A．B．C．D．

6．已知，，且，则向量在方向上的投影为

A． B． C． D．

7．在的展开式中，的系数为

A．-120 B．120 C．-15 D．15

8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若，，，则   B．若，，，则

C．若，，，则   D．若，，，则

9．在中，,，则角

A． B． C．或 D．

10．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则

A．7 B．8 C．9 D．10

11．已知不等式对恒成立，则实数的最小值为

A． B． C． D．

12．已知双曲线的一个焦点F与抛物线的焦点相同，与交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，且，则___________.

14．已知，且，则__________．

15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．

16．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17．（12分）某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店四月份中5天的日营业额（单位：千元）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：

（Ⅰ）求关于的回归方程；

（Ⅱ）设该地区4月份最低气温，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.

附：（1）回归方程中，，；

（2），；

（3）若，则，.

18．（12分）已知等差数列的公差，其前项和为，若,且，，成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

19．（12分）如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若平面平面，二面角平面

角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）已知抛物线的焦点为F，过点F，斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，且．

（Ⅰ）（1）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R（1，2）的两点D、E，若直线DR，ER分别交直线于M，N两点，求|MN|取最小值时直线DE的方程．

21．（12分）已知函数，函数.

（Ⅰ）判断函数的单调性；

（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,以原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于、两点.

（I）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（II）若,求的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（I）求不等式的解集；

（II）若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值.

理科数学参考答案

1．C 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．C              12．D

13．  14．  15．  16．

17．解：（Ⅰ）根据题意，计算，

，

，，

关于的回归直线方程为；

（Ⅱ）由题意知平均数，计算方差，

，

．

18．（1）依题意，得即，整理得.

∵，∴，.∴数列的通项公式

即数列的通项公式.

（2），

，

故.

19．（1）不妨设，则，在中,，

则，因为，

所以，因为//，且A、B、M、N四点共面，所以//平面.

又平面平面，所以//.而，.

（2）因为平面平面，且，

所以平面，，

因为，所以平面，，

因为，平面与平面夹角为，

所以，在中，易知N为的中点，

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，则由，

令，得.设与平面所成角为，则.

20．（1）抛物线的焦点为，直线方程为：，

代入中，消去y得： ，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，

由，得，即，解得，

所以抛物线C的方程为：；

（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE的方程为，如图所示，

由，消去，整理得：，

∴，设直线DR的方程为，

由，解得点M的横坐标，又k1==，∴xM==-，

同理点N的横坐标，

=4，

∴|MN|=|xM-xN|=|-+|=2||==，

令，则，

∴|MN|=•=•=•≥•=，

所以当，即时，|MN|取最小值为，此时直线DE的方程为．

21．（I）由题意得，， ∴ .

当时，，函数在上单调递增；

当时，令，解得；令，解得.

故函数在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（II）由题意知.，

当时，函数单调递增．不妨设 ，又函数单调递减，

所以原问题等价于：当时，对任意，不等式 恒成立，即对任意，恒成立.

记，

由题意得在上单调递减.

所以对任意，恒成立.

令，，

则在上恒成立.故，

而在上单调递增，所以函数在上的最大值为.

由，解得.故实数的最小值为．

22．（1）因为,相加可得直线的普通方程为,.

又,即,化简可得曲线的直角坐标方程.

（2）直线的参数方程可化为（为参数）,

代入曲线可得,化简可得,

由韦达定理有.

所以

23．解（1）因为

从图可知满足不等式的解集为.

（2）由图可知函数的最小值为，即.

所以，从而，

从而

当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值为.