人教版新课标A选修1-23.2复数代数形式的四则运算教学设计

数系的扩充与复数的概念

1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．

2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．

3．理解复数代数形式的乘、除运算法则．

4．会进行复数代数形式的乘、除运算．

5．了解互为共轭复数的概念．

一.复数的加法与减法．

1.复数的加、减法法则．

(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．

即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．

2.复数加法的运算律．

复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

二．复数加、减法的几何意义．

复数z1，z2对应的向量，不共线．

1．复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．

2．复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量，的终点，并指向被减向量所对应的复数．

三．复数代数形式的乘法法则

(1)复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．

四．共轭复数

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d，z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0．

五．复数代数形式的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．

类型一.复数的加减运算

例1：若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2 B．4 C．3 D．－4

解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.

答案：B

例2：已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.

答案:C

练习1：3.若复数z1=a-i,z2=-4+bi,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为(　　)

A.-1-5i B.-1+5i C.3-4i D.3+3i

解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+bi)=a+4-(1+b)i=6+i,

∴a=2,b=-2,

∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.

答案:D

练习2：已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=________.

解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,

所以解得a=-1.

答案：a=-1.

类型二.复数的几何意义

例3：若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是(　　)

A.-1-7i B.2+14i C.1+7i D.2-14i

解析：设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.

答案：A

练习1：A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.

答案：B

类型三.复数的乘除运算

例4：(2014·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解析：∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．

答案：A

练习1：(2014·新课标Ⅱ理，2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)

A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i

解析：本题考查复数的乘法，复数的几何意义．

∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，

∴z1z2＝－1－4＝－5，故选B.

答案：B

练习2：(2015·泰安市高二期末)设a，b为实数，若复数＝1＋i，则(　　)

A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1 C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3

解析：由＝1＋i可得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，

所以解得a＝，b＝，故选A.

答案：A

类型四.共轭复数

例５：(2015·衡阳二模)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于(　　)

A．－1－2i B．－2＋I C．－1＋2i D．1＋2i

解析：由题意可得＝＝＝－1＋2i，故选C.

答案：C

练习1：(2014·东北三省三校联考)已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝(　　)

A．－－i B．－＋I C.＋i D．－i

解析：因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋＝－i.

答案：D

练习2：(2015·石家庄市二模)已知复数z满足(1－i)z＝i2015(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)

A. B．－ C.i D．－i

解析：∵2015＝4×503＋3，∴i2015＝i3＝－i.∴z＝＝－i.∴z的虚部为－.故选B.

答案：B

1.(2014·浙江台州中学期中)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　　)

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A

2.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)

A．3 B．2 C．1 D．－1

答案：D

3.已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案：A

4.(2014～2015·洛阳市高二期中)已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是(　　)

A．z－为纯虚数

B．任何数的偶数次幂均为非负数

C．i＋1的共轭复数为i－1

D．2＋3i的虚部为3

答案：D

5.(2015·北京市东城区高二期末)已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋i，其中a∈R，是纯虚数，则实数a的值为(　　)

A．－1 B．1 C．－2 D．2

答案：A

6.设复数z满足＝i，则|1＋z|＝(　　)

A．0 B．1 C. D．2

答案：C

７．(2015·海南文昌中学高二期中)已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个顶点对应的复数是________________．

答案：2－i

８.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________________

答案：2

９.已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．

(1)求对应的复数；

(2)求对应的复数；

(3)求△APB的面积．

答案：(1)由于ABCD是平行四边形，所以＝A＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即A对应的复数是－2＋2i.

(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5.

(3)由于＝＝－＝，

＝＝，

于是·＝－，而||＝，||＝，

所以··cos∠APB＝－，

因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，

故S△APB＝||||sin∠APB＝×××＝.

即△APB的面积为.

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基础巩固

１．已知＝2＋i，则复数z＝(　　)

A．－1－3i B．1－3i C．3＋I D．3－i

答案：B

２．(2014·高考江西卷)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1 B．2 C. D.

答案：C

３.若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案：B

４．(2015·重庆理，11)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.

答案：3

５．设θ∈[0,2π]，当θ＝________________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．

答案：或π

６.在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________________象限．

答案：三

７.在复平面内，O是原点，、、对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么B对应的复数为______________．

答案：4－4i

８.已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为____．

答案：

９．(2015·长春外国语学校高二期中)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时

(1)z是实数．

(2)z是纯虚数．

(3)z对应的点位于复平面的第一象限．

答案：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1，或m＝－2，复数表示实数．

(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．

由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，

求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．

(3)由lg(m2－2m－2)>0，且m2＋3m＋2>0，解得m<－2，或m>3，故当m<－2，或m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．

能力提升

１０.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

答案：A

１１.(2015·陕西理，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)

A.＋ B．＋ C.－ D．－

答案：D

１２.设复数z1、z2满足z1－2＝－1＋i，z1＝(a＋2)＋(a2＋a－2)为不等于0的实数，则|z2|＝(　　)

A. B． C. D．

答案：C

１３.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)

A．[－1,1] B．[－，1] C．[－，7] D．[，1]

答案：C

1４.已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为____________和____________．

答案:或

１５．设z＝a＋bi(a、b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，又ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围．

答案: ∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，

∴6a＋2bi＝3＋i，

∴∴∴z＝＋i，

∴z－ω＝－(sinθ－icosθ)＝＋i

∴|z－ω|＝

＝＝

＝，

∵－1≤sin≤1，∴0≤2－2sin≤4

∴0≤|z－ω|≤2，故所求得z＝＋i，

|z－ω|的取值范围是[0,2]．