第四章 第9节 解三角形中的最值(范围)问题学案 2027届高中数学人教A版（2019）一轮复习

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题型一 利用基本不等式求最值(范围)
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足acsA＝3bsinB.
(1)求角A;
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由acsA＝3bsinB，
结合正弦定理asinA＝bsinB，得sinAcsA＝3sinBsinB＝3，
所以tan A＝3，
又因为A∈(0，π)，所以A＝π3.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以S△ABC＝12bcsin A≤12×4×32＝3，
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为3.
感悟提升 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S＝12bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤b＋c22，即可求得b＋c的最值.
训练1 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A.
(1)求角A的大小;
(2)若a＝ 3，求△ABC周长的最大值.
解 (1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，
得b2＋c2＋bc＝a2，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得cs A＝b2＋c2−a22bc＝－12，
又0