2027年高考数学一轮复习第八章　进阶篇　进阶3　最值与范围问题学案含解析

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(1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解；
(2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围.
常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利用三角函数有界性.
题型一 最值问题
例1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32.
(1)求a，b的值；
(2)若P是椭圆C的长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.
解 (1)椭圆C的上顶点到焦点的距离为b2+c2=a=2，
又因为离心率为ca=c2=32，解得c=3，
所以b2=a2-c2=1，即b=1.
(2)由(1)可得椭圆C的方程为x24+y2=1，
设P(m，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知-2≤m≤2，直线l的方程为y=x-m，
联立y=x−m，x24+y2=1，
化简得54x2-2mx+m2-1=0，Δ>0，
则x1+x2=8m5，x1x2=4(m2−1)5，
所以|AB|=1+1|x1-x2|
=2·(x1+x2)2−4x1x2
=2·8m52−4·4(m2−1)5=4255−m2，
点O到直线l的距离d=m2，
所以S△OAB=12×|AB|×d=255−m2×|m|，
S△OAB2=425(5-m2)m2≤425(5−m2)+m222=1，
当且仅当5-m2=m2，即m=±102时等号成立，且满足-2≤m≤2，
所以△OAB面积的最大值为1.
思维升华 求解最值(范围)问题的关键是建立目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题.
跟踪训练1 (2026·哈尔滨期中)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点P(2，1)的直线l与抛物线交于A，B两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求|AF|·|BF|的最小值.
解 (1)由题意得p2=1，则p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由于直线l与抛物线交于A，B两点，则直线l不与x轴平行，
设直线l：x-2=m(y-1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立x=my+2−m，y2=4x，
得y2-4my+4m-8=0，
且Δ>0，则y1+y2=4m，y1y2=4m-8，
又|AF|=x1+p2=x1+1，|BF|=x2+p2=x2+1，
所以|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)
=(my1+3-m)(my2+3-m)
=m2y1y2+(3m-m2)(y1+y2)+m2-6m+9
=m2(4m-8)+(3m-m2)·4m+m2-6m+9
=5m2-6m+9=5m−352+365≥365，
所以|AF|·|BF|的最小值为365，此时m=35.
题型二 范围问题
例2 已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线x23-y2=1的渐近线的距离是12.
(1)求p的值；
(2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与E的准线l交于点P，且线段AB的中点为M，设|PM|=λ|AB|，求实数λ的取值范围.
解 (1)E的焦点为Fp2，0，
双曲线x23-y2=1的渐近线方程为y=±33x，
不妨取y=33x，即x-3y=0.
由点到直线的距离公式得p2−01+3=12，p>0，得p=2.
(2)由(1)知抛物线E：y2=4x，焦点F(1，0)，准线l：x=-1.
设直线AB的方程为x=my+1，
联立y2=4x，x=my+1，
消去x并整理，得y2-4my-4=0，Δ=16(m2+1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2=4m，y1y2=-4，
x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，
∴|AB|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2).
易得M点的坐标为x1+x22，y1+y22=(2m2+1，2m)，
∴AB的垂直平分线方程为y-2m=-m(x-2m2-1)，
令x=-1得y=2m3+4m，
∴P(-1，2m3+4m)，
从而|PM|=(2m2+2)2+(−2m3−2m)2=2(1+m2)1+m2，
∴λ=|PM||AB|=1+m22≥12，
∴实数λ的取值范围为12，+∞.
思维升华 求解范围问题的常用方法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系建立不等式或函数式求解.
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系.
(3)利用几何条件构造不等关系.
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
跟踪训练2 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2，0)，O为坐标原点，过点F的直线l交E于M，N两点，当l与x轴垂直时，|MN|=22.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l的斜率存在且不为0，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求点P横坐标的取值范围.
解 (1)由题意知，半焦距c=2，
当l与x轴垂直时，设点M在x轴的上方，
将x=-c代入x2a2+y2b2=1(a>b>0)得M−c，b2a，N−c，−b2a，
所以|MN|=2b2a=22，
则2(a2-4)=22a，
解得a=22或a=-2(舍去)，
所以b=2，
故椭圆E的方程为x28+y24=1.
(2)如图，设直线l的方程为x=my-2(m≠0)，
与x28+y24=1联立得(m2+2)y2-4my-4=0，
Δ=32(m2+1)>0，
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为G(x0，y0)，
由根与系数的关系可得，
y1+y2=4mm2+2，y1y2=-4m2+2，
所以y0=y1+y22=2mm2+2，
x0=my0-2=-4m2+2.
直线MN的垂直平分线GP的方程为y-y0=-m(x-x0)，
令y=0，则xP=x0+y0m=-2m2+2，
因为m≠0，所以-2m2+2∈(-1，0)，
即点P横坐标的取值范围是(-1，0).
课时精练
[分值：32分]
1.(15分)(2026·南宁模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0，1)，其中一个焦点在直线x+y-2=0上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；(5分)
(2)若k=-1，O为坐标原点，求△OMN的面积最大时实数m的值.(10分)
解 (1)由一个焦点在直线x+y-2=0上，
令y=0，解得x=c=2，
因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0，1)，
所以b=1，
所以a2=1+2=3，
所以椭圆C的方程为x23+y2=1.
(2)当k=-1时，直线l：y=-x+m(m≠0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立x23+y2=1，y=−x+m，
消去y可得4x2-6mx+3m2-3=0，
由Δ=-12m2+48>0，则m∈(-2，0)∪(0，2)，
可得x1+x2=3m2，x1x2=3m2−34，
点O到直线l的距离d=m2，
弦长|MN|=1+1·(x1+x2)2−4x1x2=2·3−3m24，
则△OMN的面积S=12·d·|MN|=12·m2·2·3−3m24
=12m23−3m24=123m24(4−m2)≤12·32·m2+4−m22=32，
当且仅当m2=4-m2，即m=±2时，等号成立，此时△OMN的面积最大，
所以m的值为±2.
2.(17分)(2026·福州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为2，点(-2，-3)在C上.
(1)求双曲线C的方程及渐近线方程；(4分)
(2)若直线l：y=kx+m交双曲线C的右支于M，N两点，线段MN的垂直平分线过点K(0，4).
①求k与m之间的数量关系式；(6分)
②求∠MKN的取值范围.(7分)
解 (1)因为点(-2，-3)在双曲线C上，
所以2a2-3b2=1，
又离心率为2，则a2+b2a=2，
联立2a2−3b2=1，a2+b2a=2，解得a=1，b=3，
故双曲线C的方程为x2-y23=1，渐近线方程为y=±3x.
(2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立y=kx+m，x2−y23=1，
则(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0，3-k2≠0，
所以Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)>0，
即m2+3>k2，
且x1+x2=2km3−k2，x1x2=-m2+33−k2，
则y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=6m3−k2，
则MN的中点为Dx1+x22，y1+y22，
即Dkm3−k2，3m3−k2，
因为线段MN的垂直平分线过点K(0，4)，
则4−3m3−k20−km3−k2·k=-1，
整理得k2+m=3.
②由①知m=3-k2，
则x1+x2=2k，x1x2=-m2+3m，D(k，3)，
则k>0，mk2=3-m，解得m