第27讲 三角恒等变换（1）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

第27讲 三角恒等变换（1）

知识梳理

1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；

cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；

tan(α±β)＝，简记作T(α±β)．

2. 二倍角公式

sin2α＝2sinα·cosα；

tan2α＝；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．

3. 辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.

4. 公式的逆用及有关变形

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；

sinα±cosα＝sin(α±)；

sinα·cosα＝sin2α；

1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；

1－sin2α＝(sinα－cosα)2；

sin2α＝；

cos2α＝；

tan2α＝(降幂公式)；

1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)

1、【2022年新高考2卷】若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由已知得：,

即：，

即：,

所以,

故选：C

2、【2022年浙江】若，则__________，_________．

【答案】         

【解析】，∴，即，

即，令，，

则，∴，即，

∴ ，

则．

故答案为：；．

3、【2021年甲卷文科】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

4、【2021年乙卷文科】（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

【详解】

由题意，

.

故选：D.

5、【2020年新课标1卷理科】已知，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.

【详解】

，得，

即，解得或（舍去），

又.

故选：A.

6、【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（       ）

A．–2 B．–1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.

【详解】

，，

令，则，整理得，解得，即.

故选：D.

1、sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)

A.1   B.    C.     D.－

【答案】B

【解析】　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.

2、知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

【答案】　C

【解析】　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，

∴sin＝－×＋×＝－.

3（2022·福建三明·模拟预测）若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.

故选：A.

4、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可得，

解得（舍去），或.

故选：A.

考向一　利用两角和(差)公式运用

例1、（1）（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值

【详解】

因为，所以，

所以，所以.

故选：B

（2）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由任意三角形的定义求出，由两角差的正弦公式代入即可求出.

【详解】

因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，

.

故选：D.

 变式1、（2022年湖南常德市高三模拟试卷）下列选项中，与的值相等的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】，，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误．

故选：BC

变式2、（1）若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝　　　　．　

【答案】 2

【解析】 因为tan ＝tan (α＋β)＝＝－1，所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan α·tan β＝2.

(2) 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C＝　　　　；

【答案】

【解析】 由已知，得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，所以tan (A＋B)＝＝－.又0<A＋B<π，所以A＋B＝，所以C＝.

变式3、（1）已知是第二象限角，且，，则____.

【答案】

【解析】由是第二象限角，且，可得，，

由，可得，代入，

可得，

故答案为：.

变式3、（2）已知sin α＝sin＋，则cos的值为(　　)

A.   B.－    C.     D.－

【答案】　B

【解析】由sin α＝sin＋，得sin α＝sin αcos ＋cos αsin ＋＝sin α＋cos α＋，则cos α－sin α＝－，即cos＝－

方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．

考向二  二倍角公式的运用

例2、（2022年深圳市深圳中学高三模拟试卷）（多选题）下列各式的值等于的是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】】，故错误 

，故正确

，故正确

，故错误

综上所述，故选

变式1、(1) 化简： （－tan ）·（1＋tan α·tan ）＝　　　　；　

【答案】

【解析】 原式＝·

＝·＝·＝.

(2) 求证：＝sin 2α.

【解析】 左边＝＝＝

＝＝cos αsin cos ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，

所以原式成立．

变式2、已知coscos＝－，α∈.

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－的值．

【解析】(1)coscos＝cossin＝sin＝－，

即sin＝－.

∵α∈，∴2α＋∈，

∴cos＝－，

∴ sin 2α＝sin

＝sincos－cossin

＝－×－×＝.

(2)∵α∈，∴2α∈，

又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.

∴tan α－＝－

＝＝＝－2×＝2.

变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知，则的值为（    ）

A． B． C．－ D．

【答案】B

【解析】

，

故选：B

方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．

考向三  公式的综合运用

例3、化简：(0<θ<π)．

【解析】 由θ(0，π)，得0<<，∴ cos>0．

因此＝＝2cos．

又(1＋sinθ＋cosθ)＝

＝2cos＝－2coscosθ．

故原式＝＝－cosθ．

变式1、（1）（2022·湖北江岸·高三期末）计算（    ）

A．1 B．﹣1 C． D．

【答案】B

【解析】

故选：B

（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）______．

【答案】

【解析】因为 ．

故答案为：

变式2、（1）（2022年福建龙岩市高三模拟试卷）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】因为，，其中，为锐角，故

所以：，故A正确；

因为，

所以

，故B错误；

可得，故C正确；

可得，所以，故D错误．

故选:AC

（2）（2023·江苏南通·统考一模）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

所以，

所以

故选:B.

方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

1、（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以，

所以，所以.

故选：B

2、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【解析】

由于且，则有．

由得，，故，

故选：D．

3、（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.

【答案】

【解析】

因为，，

所以，

故答案为：

4、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.

【答案】

【解析】

因为，所以，所以，所以.

故答案为：

5、（2022年湖北宜昌市高三模拟试卷） （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】：

．

故选：．

6、（2022年湖北黄冈市高三模拟试卷）已知，，则 (    )

A．         B．         C．      D．

【答案】B

【解析】

:∵，∴，∴，，

，而，

∴，选B.

7、（2021·山东青岛市·高三三模）若，则___________.

【答案】

【解析】因为，，

所以，

因为，所以，

所以

.

.

故答案为：.