2027年高考数学一轮复习第十章　§10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题学案含解析

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题型一 概率、统计与数列的综合问题
例1 (2026·惠州模拟)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷.
(1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
(2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn.
解 (1)投掷两颗骰子共有36个样本点，和为4的倍数的样本点有
(1，3)，(3，1)，(2，2)，(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，(6，6)，共9个.
所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为936=14.
依题意，X所有的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=14×14×14=164，
P(X=1)=34×34×14+14×34×34+14×14×34=2164，
P(X=2)=14×34×14+34×34×34+34×14×34=3964，
P(X=3)=34×14×14=364.
所以X的分布列为
数学期望为E(X)=0×164+1×2164+2×3964+3×364=2716.
(2)若第1次从小芳开始，
则第n(n≥2)次由小芳投掷骰子有两种情况：
①第n-1次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，其概率为14Pn-1；
②第n-1次由小明投掷，第n次由小芳投掷，
其概率为1−14(1-Pn-1)=34-34Pn-1.
因为①②两种情形是互斥的，
所以Pn=14Pn-1+34-34Pn-1=-12Pn-1+34，
所以Pn-12=-12Pn−1−12.
因为P1=1，所以P1-12=12，
所以Pn−12是以12为首项，-12为公比的等比数列，
所以Pn-12=12−12n−1，
所以Pn=12-−12n.
思维升华 概率问题与数列的交汇综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)求出通项公式.
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.
跟踪训练1 (2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.
(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；
(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望；
(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n(n∈N*)小时后机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y).
解 (1)设“i小时后机器正常”为事件Ai(i=1，2)，设“加急检修，1小时修复”为事件B1，设“常规检修，1小时修复”为事件B2.
由题意，P(A1)=0.8，P(A1)=0.2，P(A2|A1)=0.8，P(B1|A1)=0.9，P(B2|A1)=0.6，
从而2小时后机器正常的概率为
P=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+0.5P(A1)P(B1|A1)+0.5P(A1)P(B2|A1)
=0.8×0.8+0.5×0.2×0.9+0.5×0.2×0.6=0.79.
(2)依题意，X的所有可能的值为-27，-8，11，
X=-27的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元，
从而P(X=-27)=0.1×0.1=0.01；
X=11的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元，
从而P(X=11)=0.9×0.8=0.72；
X=-8的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元，
则P(X=-8)=1-P(X=-27)-P(X=11)=1-0.01-0.72=0.27.
于是X的分布列为
数学期望为E(X)=-27×0.01+(-8)×0.27+11×0.72=5.49(元).
(3)初始状态正常，令P0=1；1个小时后正常的概率为P1=0.8；
2个小时后正常的概率为P2=0.8P1+0.6(1-P1)；
同理，n个小时后正常的概率为Pn=0.8Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2)，
即Pn=0.2Pn-1+0.6=15Pn-1+35，
故Pn-34=15Pn−1−34，
从而数列Pn−34是首项为P1-34=120，公比为15的等比数列，
于是Pn-34=120×15n−1，
因此Pn=34+120×15n−1(n∈N*).
初始状态正常，第1个小时期望收益为E(Y1)=10元；第2个小时期望收益为E(Y2)=10P1-6(1-P1)=16P1-6；
同理第k个小时期望收益为E(Yk)=16Pk-1-6(k=1，2，3，…，n).
因此当n≥2时，n个小时累计期望收益为E(Y)=E(nΣi=1Yi)=nΣi=1E(Yi)=nΣi=1(16Pi-1-6)
=16nΣi=1Pi-1-6n=16(P0+n−1Σi=1Pi)-6n
=161+34(n−1)+120×1−15n−11−15-6n
=6n+5-15n−1.
当n=1时，E(Y)=E(Y1)=10，满足该式，
故E(Y)=6n+5-15n−1，n∈N*.
题型二 概率、统计与导数的综合问题
例2 (2025·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数x作为μ的近似值，用s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ0，f(p)单调递增，
当1250，
当x>20时，f'(x)0，
所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，+∞)上单调递减，
当x=20时，f(x)取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
2.(15分)(2026·广西名校联盟联考)某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计，P(A)=920，P(B|A)=23，P(A|B)=35.
(1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？(6分)
(2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置m(m≥3)道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题是否回答正确相互独立，且每次答对的概率均为13.
①当m=5时，求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；(4分)
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*)，求Pn.(5分)
参考公式与数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
解 (1)由题意知P(A)=920，P(B|A)=23，P(A|B)=35，
可得报名参加答题活动的人数为100×920=45，
参加答题活动的男生人数为45×23=30，
所以报名参加答题活动的女生人数为45-30=15，
因为P(A|B)=35，可得样本中男生人数为30÷35=50，女生人数为50，
所以完成2×2的列联表，如表所示，
零假设为H0：该校学生报名参加答题活动与性别无关.
可得χ2=100×(20×15−30×35)255×45×50×50=10011≈9.091>7.879=x0.005，
所以依据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生报名参加答题活动与性别有关联.
(2)①由题意知随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5，
所以P(ξ=i)=13×23i−1，i=1，2，3，4，P(ξ=5)=234，
则E(ξ)=1×13+2×13×23+3×13×232+4×13×233+5×234=13+49+49+3281+8081=21181.
②每轮比赛甲得1分的概率为23×23=49，得2分的概率为1-49=59，
所以P1=49，P2=59+492=6181，
当n≥3时，Pn=49Pn-1+59Pn-2，
因为Pn-Pn-1=-59(Pn-1-Pn-2)，且P2-P1=2581，
所以数列Pn+1−Pn是首项为2581，公比为-59的等比数列，
则Pn+1-Pn=2581·−59n−1=−59n+1，
又由Pn+59Pn-1=Pn-1+59Pn-2且P2+59P1=1，
所以数列Pn+1+59Pn是各项均为1的常数列，
所以Pn+1+59Pn=1，
联立方程组Pn+1−Pn=−59n+1,Pn+1+59Pn=1,
解得Pn=914-914−59n+1.
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等级
上等药材
中等药材
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答题活动
性别
合计
男生
女生
未报名参加
报名参加
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10.828
答题活动
性别
合计
男生
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