新高考数学一轮复习考点学案第4章§4.4简单的三角恒等变换（含答案解析）

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1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cs 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
2.半角公式(不要求记忆)
sinα2＝±1−csα2；csα2＝±1＋csα2；tanα2＝±1−csα1＋csα.符号由α2所在象限决定.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).( )
(3)任意角α，sin 2α＝2sin α都不成立.( )
(4)cs2α2＝12(1＋cs α)，cs 3α＝1－2sin23α2.( )
2.cs2π12－cs25π12等于( )
A.12B.33
C.22D.32
3.若α为第二象限角，sin α＝513，则sin 2α等于 .
4.已知tan 2α＝－43，α∈π，3π2，则tan α＝ .
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2 α2，1＋cs α＝2cs2 α2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝sinα2±csα22.(升幂公式)
(3)sin2α＝1−cs2α2，cs2α＝1＋cs2α2，
tan2α＝1−cs2α1＋cs2α.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tanα2＝sinα1＋csα＝1−csαsinα.
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；
(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；
(4)要注意“1”的各种变形.
题型一 三角函数式的化简
例1 (1)1−sin40°＋1−cs40°2的化简结果为( )
A.－sin 20°B.－cs 20°
C.cs 20°D.sin 20°
(2)化简：cs 20°cs 40°cs 80°＝ .
积化和差、和差化积公式
在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算.
(1)和差化积公式
①sin θ+sin φ=2sin θ+φ2cs θ−φ2；
②sin θ-sin φ=2cs θ+φ2sin θ−φ2；
③csθ+csφ=2cs θ+φ2cs θ−φ2；
④csθ-csφ=-2sin θ+φ2sin θ−φ2.
(2)积化和差公式
①csαcsβ=12[cs(α+β)+cs(α-β)]；
②sin αsin β=-12[cs(α+β)-cs(α-β)]；
③sin αcsβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)]；
④csαsin β=12[sin(α+β)-sin(α-β)].
典例 化简下列各式：
(1)sin 54°-sin 18°= ；
(2)cs146°+cs94°+2cs47°cs73°= .
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
跟踪训练1 (1)化简1＋sin4α−cs4α1＋sin4α＋cs4α的结果是( )
A.1tan2αB.tan 2α
C.1tanαD.tan α
(2)化简：12cs2θ＋π4＋12sin2π4−θ＋sin θcs θ＝ .
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
例2 (2024·武汉模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则cs18°cs36°·1−m2＝ .
命题点2 给值求值
例3 (2024·石家庄模拟)已知csπ6＋α＝15，则sin5π6＋2α等于( )
A.－325B.325
C.－2325D.2325
命题点3 给值求角
例4 已知sin α＝210，cs β＝31010，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
思维升华 (1)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
(2)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
②若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为−π2，π2，选正弦较好.
跟踪训练2 (1)(2024·烟台模拟)若csα−π4＝13，则sin 2α等于( )
A.－59B.59
C.－79D.79
(2)已知α为锐角，1＋3tan80°＝1sinα，则α＝ .
题型三 三角恒等变换的综合应用
例5 已知π4bB.b>c>a
C.c>b>aD.b>a>c
思维升华 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
(2)形如y＝asin x＋bcs x化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
跟踪训练3 若关于x的方程sin xsinx＋π3－14＋λ＝0有实数解，则λ的取值范围是 .
答案精析
落实主干知识
1.(1)2sin αcs α (2)cs2α－sin2α 2cs2α－1 1－2sin2α
(3)2tanα1−tan2α
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.D [因为cs 5π12＝sinπ2−5π12
＝sinπ12，
所以cs2π12－cs25π12
＝cs2π12－sin2π12
＝cs π6＝32.]
3.－120169
解析 因为α为第二象限角，
sin α＝513，
所以cs α＝－1−sin2α
＝－1−5132＝－1213，
所以sin 2α＝2sin αcs α
＝2×513×−1213＝－120169.
4.2
解析 由tan 2α＝2tanα1−tan2α＝－43，
得2tan2α－3tan α－2＝0，
解得tan α＝2或tan α＝－12(舍去).
探究核心题型
例1 (1)C [原式
＝(sin20°−cs20°)2＋1−(1−2sin220°)2
＝|sin 20°－cs 20°|＋sin220°
＝cs 20°－sin 20°＋sin 20°
＝cs 20°.]
(2)18
解析 cs 20°cs 40°cs 80°
＝sin20°cs20°cs40°cs80°sin20°
＝12sin40°cs40°cs80°sin20°
＝14sin80°cs80°sin20°＝18sin160°sin20°
＝18.
微拓展
典例 (1)12 (2)－12
解析 (1)由和差化积公式可得，
sin 54°－sin 18°＝2cs 36°sin 18°
＝2×2sin18°cs18°cs36°2cs18°
＝2sin36°cs36°2cs18°
＝sin72°2cs18°＝cs18°2cs18°＝12.
(2)由和差化积和积化和差公式可得，
cs 146°＋cs 94°＋2cs 47°cs 73°
＝2cs 120°cs 26°＋2×12(cs 120°＋cs 26°)
＝2×−12cs 26°＋−12＋cs 26°
＝－12.
跟踪训练1 (1)B [原式＝2sin2αcs2α＋2sin22α2sin2αcs2α＋2cs22α
＝2sin2α(cs2α＋sin2α)2cs2α(sin2α＋cs2α)＝tan 2α.]
(2)12
解析 原式＝141＋cs2θ＋π2＋141−csπ2−2θ＋12sin 2θ
＝1−sin2θ4＋1−sin2θ4＋12sin 2θ
＝12.
例2 2
解析 原式
＝sin72°cs36°·1−sin18°
＝sin72°cs36°·1−cs72°
＝2sin36°cs36°cs36°·1−(1−2sin236°)
＝2sin36°cs36°cs36°·2sin36°＝2.
例3 C [因为csπ6＋α＝15，
所以sin5π6＋2α
＝sinπ2＋π3＋2α
＝csπ3＋2α＝2cs2π6＋α－1
＝2×152－1＝－2325.]
例4 π4
解析 因为sin α＝210，且α为锐角，
所以cs α＝1−sin2α
＝1−2100＝7210，
因为cs β＝31010，且β为锐角，
所以sin β＝1−cs2β
＝1−90100＝1010，
则sin 2β＝2sin βcs β
＝2×1010×31010＝35，
cs 2β＝1－2sin2β
＝1－2×10102＝45，
所以cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β＝7210×45－210×35＝22，
因为α∈0，π2，β∈0，π2，所以2β∈(0，π).
所以α＋2β∈0，3π2，
故α＋2β＝π4.
跟踪训练2 (1)C [由csα−π4＝13可得cs2α−π2
＝2cs2α−π4－1＝－79，
故cs2α−π2＝sin 2α＝－79.]
(2)50°
解析 因为1＋3tan80°
＝sin80°＋3cs80°sin80°
＝2sin(80°＋60°)sin80°＝2sin140°2sin40°cs40°
＝sin40°sin40°cs40°＝1cs40°＝1sin50°＝1sinα，
所以sin α＝sin 50°，
又因为α为锐角，所以α＝50°.
例5 C [a＝tanθtan2θ＋1
＝sinθcsθsin2θ＋cs2θ＝sin θcs θ，
b＝12(1－cs 2θ)＝sin2θ，
c＝1csθ－cs θ＝sin2θcsθ＝sin θtan θ，
又π4sin θ>22>cs θ>12，
所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcs θ.]
跟踪训练3 −12，12
解析 ∵sin xsinx＋π3－14＋λ＝0，
∴－λ＝sin xsinx＋π3－14
＝sin x12sinx＋32csx－14
＝12sin2x＋32sin xcs x－14
＝12×1−cs2x2＋34sin 2x－14
＝34sin 2x－14cs 2x
＝12sin2x−π6，
∵－12≤12sin2x−π6≤12，
∴－12≤－λ≤12，
即－12≤λ≤12.