高考数学(理数)一轮复习学案4．5《三角恒等变换》(含详解)

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1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝____________________.
(2)cs(α±β)＝____________________.
(3)tan(α±β)＝____________________.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝______________．
(2)cs2α＝___________＝___________＝___________．
(3)tan2α＝____________________.
3．半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(1－csα,sinα).
4．几个常用的变形公式
(1)升幂公式：1±sinα＝____________________；
1＋csα＝____________________；1－csα＝____________________．
(2)降幂公式：sin2α＝____________________；cs2α＝____________________．
(3)tanα±tanβ＝______________________；
tanαtanβ＝eq \f(tanα－tanβ,tan（α－β）)－1＝1－eq \f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).
(4)辅助角公式：asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中csφ＝____________________，sinφ＝__________________，或tanφ＝________________，φ角所在象限与点(a，b)所在象限________，φ角的终边经过点(a，b)．
自查自纠：
1．(1)sinαcsβ±csαsinβ (2)csαcsβ∓sinαsinβ
(3)eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)
2．(1)2sinαcsα
(2)cs2α－sin2α 2cs2α－1 1－2sin2α (3)eq \f(2tanα,1－tan2α)
4．(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))eq \s\up12(2) 2cs2eq \f(α,2) 2sin2eq \f(α,2)
(2)eq \f(1－cs2α,2) eq \f(1＋cs2α,2)
(3)tan(α±β)(1∓tanαtanβ)
(4)eq \f(a,\r(a2＋b2)) eq \f(b,\r(a2＋b2)) eq \f(b,a) 相同

sin20°cs10°－cs160°sin10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
解：原式＝sin20°cs10°＋cs20°sin10°＝sin30°＝eq \f(1,2).故选D.
(eq \a\vs4\al(2018·全国卷Ⅲ))若sinα＝eq \f(1,3)，则cs2α＝
( )
A.eq \f(8,9) B.eq \f(7,9) C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(8,9)
解：cs2α＝1－2sin2α＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).故选B.
(eq \a\vs4\al(2017·全国卷Ⅲ))函数f(x)＝eq \f(1,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) 的最大值为 ( )
A.eq \f(6,5) B．1 C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,5)
解：f(x)＝eq \f(1,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))
＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx·\f(1,2)＋csx·\f(\r(3),2)))＋csx·eq \f(\r(3),2)＋sinx·eq \f(1,2)
＝eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝eq \f(3,5)·2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
＝eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，最大值为eq \f(6,5).故选A.
(eq \a\vs4\al(2017·江苏))若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,6)，则tanα＝________.
解：tanα＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq \f(\f(1,6)＋1,1－\f(1,6))＝eq \f(7,5).故填eq \f(7,5).
(eq \a\vs4\al(东莞2018考前冲刺))化简cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝________.
解：cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)(1＋sin2x＋1＋sin2x)＝1＋sin2x.故填1＋sin2x.

类型一 非特殊角求值问题
(1)(eq \a\vs4\al(2017·山东))已知csx＝eq \f(3,4)，则 cs2x＝ ( )
A．－eq \f(1,4) B.eq \f(1,4) C．－eq \f(1,8) D.eq \f(1,8)
解：由csx＝eq \f(3,4)得cs2x＝2cs2x－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2－1＝eq \f(1,8).故选D.
(2)(eq \a\vs4\al(教材复习参考题))sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)＝________.
解：sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)
＝sin50°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)×\f(sin10°,cs10°)))
＝sin50°×eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)
＝sin50°×eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),cs10°)
＝eq \f(2sin50°cs50°,cs10°)＝eq \f(sin100°,cs10°)＝eq \f(cs10°,cs10°)＝1.故填1.
(3)(eq \a\vs4\al(福建漳州2017届八校联考))已知tanα＝2(α∈(0，π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋2α))＝( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
解：由tanα＝2得sinα＝2csα，sin2α＋cs2α＝1，得4cs2α＋cs2α＝1，cs2α＝eq \f(1,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋2α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝－sin2α＝－2sinαcsα＝－4cs2α＝－eq \f(4,5).故选D.
点 拨：
解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．

(1)(eq \a\vs4\al(2016·四川))cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝________.
解： 根据二倍角公式有cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).故填eq \f(\r(2),2).
(2)eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°（4cs212°－2）)＝________.
解：eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°（4cs212°－2）)＝eq \f(\r(3)（sin12°－\r(3)cs12°）,2cs24°sin12°cs12°)＝eq \f(2\r(3)sin（12°－60°）,\f(1,2)sin48°)＝－4eq \r(3).故填－4eq \r(3).
(3)tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan70°tan50°的值等于 ( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
解：因为tan120°＝eq \f(tan70°＋tan50°,1－tan70°·tan50°)＝ －eq \r(3)，
所以tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan70°·tan50°＝－eq \r(3).故选D.
类型二 给值求值问题
(1)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝eq \f(1,7)，则tanβ的值为________．
解：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)＝eq \f(\f(1,7)＋2,1－\f(2,7))＝3.故填3.
(2)(eq \a\vs4\al(2018·全国卷Ⅱ))已知sinα＋csβ＝1，csα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__________．
解：因为sinα＋csβ＝1 ①，
csα＋sinβ＝0 ②，
所以①2＋②2得2＋2(sinαcsβ＋csαsinβ)＝1，
即2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).故填－eq \f(1,2).
(3)(eq \a\vs4\al(2018·全国卷Ⅱ))已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，则tanα＝________.
解：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(tanα－tan\f(5π,4),1＋tanα·tan\f(5π,4))＝eq \f(tanα－1,1＋tanα)＝eq \f(1,5)，解得tanα＝eq \f(3,2).故填eq \f(3,2).
点 拨：
应用三角恒等变换公式求值的三个变换：①变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．

(1)(eq \a\vs4\al(2018·济南调研))已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－csα＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝ ( )
A．－eq \f(5,18) B.eq \f(5,18) C．－eq \f(7,9) D.eq \f(7,9)
解：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－csα＝eq \f(1,3)，
得eq \f(\r(3),2)sinα＋eq \f(1,2)csα－csα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，
得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).故选D.
(2)已知taneq \f(α,2)＝3，则csα＝ ( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(4,15) D．－eq \f(3,5)
解：csα＝cs2eq \f(α,2)－sin2eq \f(α,2)＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),cs2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq \f(1－9,1＋9)＝－eq \f(4,5).故选B.
(3)已知csα＝eq \f(1,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cs(α－β)的值等于 ( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(23,27)
解：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2α∈(0，π)，csα＝eq \f(1,3)，所以cs2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,9)，sin2α＝eq \r(1－cs22α)＝eq \f(4\r(2),9).而α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α＋β∈(0，π)，所以 sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(2),3).所以cs(α－β)＝cs[2α－(α＋β)]＝cs2αcs(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋eq \f(4\r(2),9)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(23,27).故选D.
类型三 给值求角问题
(eq \a\vs4\al(福州外校2017届高三适应性考试))已知A，B均为钝角，sin2eq \f(A,2)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＝eq \f(5－\r(15),10)，且 sinB＝eq \f(\r(10),10)，则A＋B＝ ( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(7π,6)
解：由题意知eq \f(1,2)(1－csA)＋eq \f(1,2)csA－eq \f(\r(3),2)sinA＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(15),10)，得sinA＝eq \f(\r(5),5)，sinB＝eq \f(\r(10),10).
A，B均为钝角，π