2027年高考数学一轮复习第四章　必刷小题8　解三角形学案含解析

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一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.在△ABC中，B=π3，AB=8，AC=7，则BC等于( )
A.5B.3或5
C.4D.2或4
答案 B
解析 由余弦定理，得AB2+BC2-2AB·BCcs B=AC2，
即64+BC2-8BC=49，即BC2-8BC+15=0，
解得BC=3或BC=5，
经检验，均满足题意.
2.(苏教版必修第二册P101练习T4)在△ABC中，若A=60°，a=3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于 ( )
A.2B.12C.3D.32
答案 A
解析 由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=3sin60°=2，
所以a+b+csinA+sinB+sinC=2(sinA+sinB+sinC)sinA+sinB+sinC
=2.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=6，b=23，cs C=33，则sin B等于( )
A.33B.23C.63D.223
答案 A
解析 在△ABC中，由a=6，b=23，cs C=33及余弦定理，得c=62+(23)2−2×6×23×33=26，C为锐角，则sin C=1−cs2C=63，
所以由正弦定理得sin B=bsinCc=23×6326=33.
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2-c2=4，C=120°，则△ABC的面积为( )
A.33B.332C.3D.23
答案 C
解析 由(a+b)2-c2=4，
可得a2+b2-c2=4-2ab，
由C=120°，可得-12=a2+b2−c22ab，
所以-12=4−2ab2ab，
解得ab=4，
所以△ABC的面积为12absin C=12×4×32=3.
5.(2025·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c-acs B=(2a-b)cs A，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰或直角三角形
答案 D
解析 由正弦定理，得sin C-sin Acs B=2sin Acs A-sin Bcs A，
所以sin(A+B)-sin Acs B=2sin Acs A-sin Bcs A，
故cs A(sin B-sin A)=0，
所以sin A=sin B或cs A=0，
即A=B或A=π2，
故△ABC为等腰或直角三角形.
6.(2025·南昌模拟)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为( )
A.2tsin(α+β)sin2α mB.2tsin(α+β)sin2β m
C.tsin(α+β)sinαcsβ mD.tsin(α+β)csαsinβ m
答案 D
解析 由题意可得CD=t，∠DAC=β，∠ADB=α+β，
则在Rt△ADC中，AD=CDsinβ=tsinβ，
在△ABD中，∠ABD=π2-α，
由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，
即ABsin(α+β)=ADsinπ2−α，
所以AB=ADsin(α+β)csα=tsin(α+β)csαsinβ(m).
7.在锐角△ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是( )
A.34，1B.34，32
C.32，3D.34，3
答案 D
解析 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h=asin B=32a，
由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°−C)sinC=32csC+12sinCsinC=32tanC+12.
由△ABC为锐角三角形，可知30°0)，则AC=t，
由S△ABC=S△ABD+S△ACD=3S△ACD可得12AB·ACsin2π3=32AC·ADsinπ3，
可得AD=AB3=2t3，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcsπ3
=4t2+4t29-2×2t×2t3×12=28t29，
故BD=273t，
由正弦定理可得BDsinπ3=ADsinB，
所以sin B=ADsinπ3BD=2t3×32273t=2114，
易知B为锐角，则cs B=1−sin2B=1−21142=5714，
所以tan B=sinBcsB=35.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2026·茂名模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A.若A=60°，a=b=2，则△ABC有一解
B.若A=30°，a=2，b=43，则△ABC无解
C.若A=150°，a=3，b=4，则△ABC有一解
D.若A=45°，a=2，b=3，则△ABC有两解
答案 ABD
解析 A选项，因为A=60°，a=b=2，所以B=A=60°，故C=60°，
则△ABC是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确；
B选项，若A=30°，a=2，b=43，由正弦定理得asinA=bsinB，即2sin30°=43sinB，
解得sin B=3>1，△ABC无解，故B正确；
C选项，若A=150°，a=3，b=4，由大边对大角可知B>A，此时三角形中有2个钝角，
不可能，则△ABC无解，故C错误；
D选项，若A=45°，a=2，b=3，由正弦定理得asinA=bsinB，
即2sin45°=3sinB，解得sin B=32，因为b>a，所以B=60°或B=120°，
所以△ABC有两解，故D正确.
10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离126 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离83 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是( )
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°
D.D在灯塔B的北偏西30°
答案 AC
解析 由题意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD=30°，所以B=180°-60°-75°=45°，AB=126，AC=83，
在△ABD中，由正弦定理得ADsinB=ABsin∠ADB，
所以AD=126×2232=24，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得
CD=AC2+AD2−2AC·ADcs∠CAD
=(83)2+242−2×83×24×32
=83，故B错误；
因为CD=AC，所以∠CDA=∠CAD=30°，
所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；
由∠ADB=60°，可知D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.
11.如图，在平面四边形ABCD中，已知AB=1，BC=3，CD=6，AD=2，B+D=π，则以下说法正确的有( )
A.AC=10
B.B=π2
C.四边形ABCD的面积为3+26
D.A=2C
答案 AB
解析 连接AC，如图，
对于A，B，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs B，
即AC2=1+9-2×1×3cs B=10-6cs B，
在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcs D，
即AC2=4+6-2×2×6cs D=10-46cs(π-B)=10+46cs B，
整理可得4AC2+6AC2=40+106，解得AC=10(负值舍去)，故A正确；
可知AB2+BC2=AC2，则B=π2，故B正确；
对于C，D，可得D=π2，所以四边形ABCD的面积为12×1×3+12×2×6=32+6，故C错误；
在△ABC中，可得cs∠BCA=310，sin∠BCA=110，
在△ACD中，可得cs∠DCA=35，sin∠DCA=25，
则cs∠BCD=cs(∠BCA+∠DCA)
=cs∠BCAcs∠DCA-sin∠BCAsin∠DCA
=3610-15，
若∠BAD=2∠BCD，注意到∠BAD+∠BCD=π，
则∠BCD=π3，可得cs∠BCD=12≠3610-15，
不符合题意，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列.若7sin A=3sin C，则△ABC的面积为 .
答案 1534
解析 因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以c=a+4.
因为7sin A=3sin C，由正弦定理可得7a=3c，
解得a=3，b=5，c=7，
由余弦定理可得
cs C=a2+b2−c22ab=9+25−492×3×5=-12，
因为C∈(0，π)，所以C=2π3，
所以△ABC的面积为12absin C=12×3×5×sin2π3=1534.
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs2C=sin2A+cs2B-sin Asin C，且b=6，则B= ，△ABC外接圆的面积为 .
答案 π3 12π
解析 由cs2C=sin2A+cs2B-sin Asin C，
可得1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sin Asin C，
即sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C，
则由正弦定理得ac=a2+c2-b2，
由余弦定理得cs B=a2+c2−b22ac=12，
又因为B∈(0，π)，可得B=π3，
设△ABC外接圆的半径为R，则R=b2sinB=23，
所以△ABC外接圆的面积为πR2=12π.
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=6，sinBsinA=6a−bb，则△ABC面积的最大值为 .
答案 12
解析 由sinBsinA=6a−bb，由正弦定理得ba=6a−bb，即(b-2a)(b+3a)=0，
所以b=2a，
由余弦定理得cs C=a2+b2−c22ab=5a2−364a2，
所以sin C=1−cs2C=1−(5a2−36)216a4
=−9a4+360a2−1 2964a2，
所以S△ABC=12absin C
=a2·−9a4+360a2−1 2964a2
=−9(a2−20)2+2 3044，
当a2=20，即a=25时，S△ABC取得最大值12.
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