2027年高考数学一轮复习第九章　§9.1　随机抽样、统计图表学案含解析

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§9.1 随机抽样、统计图表
考试要求 1.知道获取数据的基本途径.2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性.
1.总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量.
2.简单随机抽样
抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
3.分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
4.统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关.( × )
(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.( √ )
(3)在按比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( × )
(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.( √ )
2.(多选)(2025·白城模拟)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )
A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B.样本是指1 000名学生的数学成绩
C.样本量指的是1 000名学生
D.个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
答案 ABD
解析 总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A正确；
样本是指1 000名学生的数学成绩，B正确；
样本量是1 000，C错误；
个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正确.
3.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为2∶3∶4.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从各区中抽取人员进行调研.已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为( )
A.90B.120C.180D.200
答案 D
解析 设从核心区抽取的人数为n，
因为各区的人口比例为2∶3∶4，且从开发区抽取的人数为300，
可得3003=n2，解得n=200，即从核心区抽取的人数为200.
4.从某校随机抽取某次数学考试100分以上(含100分，满分150分)的学生成绩，将他们的分数绘制成如图所示的频率分布直方图.若共抽取了100名学生的成绩，则分数在[120，130)内的人数为 .
答案 30
解析 因为频率分布直方图中所有的小矩形面积和为1，
所以(0.005+0.035+a+0.020+0.010)×10=1，
解得a=0.030，所以分数在[120，130)内的人数为100×0.030×10=30.
1.利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等.
2.频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.
题型一 抽样方法
例1 (1)(2025·沈阳模拟)某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600.从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是( )
第2行 32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
第3行 71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A.098B.147C.513D.310
答案 C
解析 由题意可知得到的编号依次为231，023，147，098，513，…，则得到的第5个编号是513.
(2)为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲、乙、丙3地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为20，y，z，且依次构成等差数列，而20，y-10，z成等比数列，若用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取30个观测点，则丙地应抽取观测点的个数为( )
A.18B.16C.10D.4
答案 B
解析 依题意知，20+z=2y,(y−10)2=20z,解得y=50,z=80,
所以丙地应抽取观测点的个数为3020+50+80×80=16.
思维升华 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②等可能抽取.
(2)在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比=样本容量总体容量=各层样本容量各层个体总量.
跟踪训练1 (1)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训
B.从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验
C.从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本
D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查
答案 B
解析 A选项中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训，每个人被抽到的概率不相等，故A错误；
B选项中，从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验，是简单随机抽样，故B正确；
C选项中，由于被抽取的样本总体的个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故C错误；
D选项中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到的概率不相等，所以不是简单随机抽样，故D错误.
(2)(多选)(2026·重庆模拟)某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据.
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么( )
A.若按照研究学科进行按比例分配的分层随机抽样，则数学学科科研人员一定被抽取12人
B.若按照性别进行按比例分配的分层随机抽样，则男性科研人员可能被抽取20人
C.若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人
D.若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员
答案 AD
解析 对于A，按照研究学科按比例分配的分层随机抽样，则数学学科抽样比为60200=310，则数学学科科研人员被抽取310×40=12(人)，故A正确；
对于B，按照性别进行按比例分配的分层随机抽样，男性抽样比为120200=35，则男性科研人员被抽到的人数为35×40=24，故B错误；
对于C，若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，故C错误；
对于D，若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故D正确.
题型二 统计图表
例2 (1)(多选)2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告，统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则( )
A.2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上
B.近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大
C.从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增
D.从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增
答案 ABC
解析 对于A，根据条形图，2024年，我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，6.711.1×100%≈60.36%，所以数字阅读用户规模约占网民规模的60.36%，故A正确；
对于B，近五年，我国数字阅读用户规模的增长量为6.7-4.94=1.76(亿)，网民规模的增长量为11.1-9.9=1.2(亿)，
数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确；
对于C，根据条形图，可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模在逐年递增，故C正确；
对于D，根据条形图，从2020年至2021年，我国网民规模的增长率为10.3−9.99.9≈0.040 4，
从2023年至2024年，我国网民规模的增长率为11.1−10.910.9≈0.018 3，增长率减小了，故D错误.
(2)(多选)(2025·佛山模拟)佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图(图1)、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图(图2，单位：万人)，已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则( )
A.2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万
B.2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和
C.五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线
D.五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线
答案 ABD
解析 因为2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则2016年的高明线的参与人数是1.5万人，
对于A，根据扇形图得出(万)，所以2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万，A正确；
2016年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为1.5万，3万，4.5万，5万，6万，
2025年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为3万，5万，10万，12万，15万，
对于B，因为12>5+6=11，2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和，B正确；
对于C，五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是高明线，C错误；
对于D，南海线的参与人数2025年与2016年相比增长率为15−66=32，顺德线的参与人数2025年与2016年相比增长率为12−55=75，
禅城线的参与人数2025年与2016年相比增长率为10−，三水线的参与人数2025年与2016年相比增长率为5−33=23，
高明线的参与人数2025年与2016年相比增长率为3−，所以五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线，D正确.
思维升华 统计图表的主要应用
(1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例.
(2)折线图：描述数据随时间的变化趋势.
(3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.
跟踪训练2 (1)(多选)某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图(图1)和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图(图2)，则下列说法中一定正确的是( )
A.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
B.芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过从事这两个行业总人数的25%
C.芯片、软件行业从业者中，“90后”占比超过50%
D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少
答案 BC
解析 对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为55%×37%=20.35%，
芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的40%，但不知道从事技术岗位人数的比例，
故无法确定两者人数的多少，A错误；
对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为55%×(37%+13%)=27.5%，
超过从事这两个行业总人数的25%，B正确；
对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为55%，超过50%，C正确；
对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为55%×14%=7.7%，
“80前”占比5%，D错误.
(2)(多选)给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有( )
A.从折线图能看出世界人口的变化情况
B.2050年非洲人口大约将达到13亿
C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
答案 AC
解析 对于A，从折线图能看出世界人口的变化情况，所以是正确的；
对于B，从条形图中可得到，2050年非洲人口将达到大约18亿，所以是错误的；
对于C，从扇形图中能够明显的得到结论，2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，所以是正确的；
对于D，由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，所以是错误的.
题型三 频率分布直方图
例3 某中学随机抽取50名学生进行体能测试，其得分(满分100分)如下(单位：分)：
48 64 52 86 71 48 64 41 86 79
71 68 82 84 68 64 62 68 81 57
90 52 74 73 56 78 47 66 55 64
56 88 69 40 73 97 68 56 67 59
70 52 79 44 55 69 62 58 32 58
根据上面的数据，回答下列问题：
(1)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少？
(2)将区间[30，100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生体能测试成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图和频率分布折线图.
解 (1)这次测试成绩的最低分是32分，最高分是97分.
(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：
频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
思维升华 频率分布直方图的相关结论
(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)频率分布直方图中纵轴表示频率组距，每组样本的频率为组距×频率组距，即小长方形的面积.
(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.
跟踪训练3 某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：
(1)求分数在区间[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？
解 (1)设分数在[70，80)内的频率为x，
根据频率分布直方图，可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x=1，解得x=0.25，
所以分数在[70，80)内的频率为0.25，
补全这个频率分布直方图，如图所示.
(2)因为分数在区间[80，90)内的频率为0.25，在区间[90，100]内的频率为0.05，
而0.05