2027年高考数学一轮复习第二章　§2.4　函数的周期性和对称性学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第二章　§2.4　函数的周期性和对称性学案含解析，文件包含新人教版九年级上册英语Unit6BeyondEarth单元重点单词短语句型语法精练教师解析版docx、新人教版九年级上册英语Unit6BeyondEarth单元重点单词短语句型语法精练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称；
(2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点(a，0)对称.
(3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x=a；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0).
3.两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；
(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( √ )
(2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称. ( √ )
(3)函数y=ln(-x)与y=ln x的图象关于x轴对称. ( × )
(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称. ( √ )
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2 026.5)等于( )
A.1716B.54C.2D.1
答案 B
解析 由f(x+2)=f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，
∴f(2 026.5)=f 2 026+12=f 12=14+1=54.
3.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是( )
A.y=ex-1B.y=e1-x
C.y=e2-xD.y=ln x
答案 C
解析 记f(x)=ex，则关于直线x=1对称的是f(2-x)=e2-x，即y=e2-x.
4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点 .
答案 (-1，2)
解析 y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称，y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，
则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1，2).
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|；
(2)若f(x+a)=1f(x)，则T=2|a|；
(3)若f(x+a)=-1f(x)，则T=2|a|.
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|.
题型一 函数的周期性
例1 (1)(2025·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，且当x∈(-2，0)时，f(x)=lg2(x+3)，则f(2 025)-f(2 028)等于( )
A.1B.-1
C.1-lg23D.-1-lg23
答案 B
解析 根据题意，函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是周期为4的周期函数，
又2 025=506×4+1，2 028=507×4，
所以f(2 025)=f(1)，f(2 028)=f(0)，又由函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)=0，f(1)=-f(-1)=-lg2(-1+3)=-1，
所以f(2 025)-f(2 028)=-1.
(2)(2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f 2 0252等于( )
A.92B.52C.-94D.-52
答案 B
解析 方法一 f(x+1)为奇函数，故f(-x+1)=-f(x+1)，
又f(x+2)为偶函数，故f(-x+2)=f(x+2)，
在f(-x+2)=f(x+2)中，用x-1代替x得f(-x+3)=f(x+1)，
结合f(-x+1)=-f(x+1)得f(-x+1)=-f(-x+3)，
即f(x)=-f(x+2)，又f(x+2)=-f(x+4)，
故f(x)=f(x+4)，所以f(x)的一个周期为4，
又当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2，且f(-x+1)=-f(x+1)，
则f(1)=-f(1)，则f(1)=0，则a+2=0，
所以a=-2，
则当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2，
故f 2 0252=f 4×253+12=f 12
=-f 32=-−2×322+2=52.
方法二 因为f(x+1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，
因为f(x+2)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
设f(x)的周期为T，则T4=2-1=1，所以T=4，
又f(x)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(1)=0，解得a=-2，
所以当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2，
所以f 2 0252=f 4×253+12=f 12
=-f 32=52.
思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
跟踪训练1 (多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是( )
A.f(x+6)=f(x)
B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6
C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)
D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=32
答案 ACD
解析 因为f(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，则f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A正确；
当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则当x∈[-6，-3]时，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B不正确；
由f(x+6)=f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2 025)=f(3+337×6)=f(3)=0，f(2 024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)，故C正确；
由A选项知，f(x)=-f(x+3)，又f(x)=-f(-x)，则f(x+3)=f(-x)，所以函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=32，故D正确.
题型二 函数的对称性
命题点1 自对称中的轴对称
例2 (多选)(2025·延边模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最大值是1，最小值是0
B.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2
C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)在区间(3，5)上单调递增
答案 BCD
解析 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
又对∀x∈R都有f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确；
因为f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2+x)=-f(x)，所以f(4+x)=f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数，
又当x∈[0，1]时，f(x)=x2单调递增，所以f(x)在[-1，0]上单调递增，
则f(x)在[-1，1]上单调递增，由f(x)的图象关于直线x=1对称，
得f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[-1，3]上的最大值是f(1)=1，最小值是f(-1)=-f(1)=-1，故A错误；
当3≤x≤4时，0≤4-x≤1，则f(x)=-f(-x)=-f(4-x)=-(4-x)2，故B正确；
由f(x)在[-1，1]上单调递增，且周期为4，则f(x)在区间(3，5)上单调递增，故D正确.
命题点2 自对称中的中心对称
例3 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称
B.函数f(x)=2x−1x+2的图象关于点(2，2)中心对称
C.函数f(x)=lnx−3x+1的图象关于点(1，0)对称
D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
答案 AC
解析 对于A，因为f(x-4)-f(x)=0，所以f(x)的一个周期为4，又f(x)为奇函数，
所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，因为周期为4，所以f(x)的图象也关于点(4，0)对称，A正确；
对于B，f(x)=2x−1x+2=2(x+2)−5x+2=2-5x+2，其图象可以由y=-5x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-5x的图象关于原点对称，故f(x)=2x−1x+2的图象关于点(-2，2)中心对称，B错误；
对于C，因为f(2-x)=ln2−x−32−x+1=ln−x−1−x+3=lnx+1x−3=-lnx−3x+1=-f(x)，
所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；
对于D，因为f(x-1)为奇函数，
所以f(x-1)=-f(-x-1)，
所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，D错误.
命题点3 互对称问题
例4 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象( )
A.关于直线x=1对称
B.关于直线x=3对称
C.关于直线y=3对称
D.关于点(3，0)对称
答案 A
解析 设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，
所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上，
而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称，
所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.
思维升华 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x)；
若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.
(2)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2，c2成中心对称.
跟踪训练2 (1)(多选)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)=sin x-1sinx，则( )
A.f(x)的一个周期为π
B.f(x)的一个周期为2π
C.y=f(x)的图象关于点(π，0)对称
D.y=f(x)的图象关于直线x=π2对称
答案 BCD
解析 对于A，因为f(π+x)=-f(x)≠f(x)，所以π不是f(x)的一个周期，A错误；
对于B，因为f(2π+x)=f(x)，所以2π是f(x)的一个周期，B正确；
对于C，可知f(x)=sin x-1sinx的定义域为x|x≠kπ，k∈Z，
因为f(2π-x)=sin(2π-x)-1sin(2π−x)=-sin x+1sinx=-f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故C正确；
对于D，因为f(π-x)=sin(π-x)-1sin(π−x)=sin x-1sinx=f(x)，
所以直线x=π2是f(x)图象的一条对称轴，故D正确.
(2)(多选)已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=2x−1x−1，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(2，2)对称
B.g(x)的图象关于点(1，2)对称
C.x1+x2+…+x2 026=2 026
D.y1+y2+…+y2 026=2 026
答案 BC
解析 函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，则有f(-x+1)-2=-f(x+1)+2，
即f(-x+1)+f(x+1)=4，
又(−x+1)+(x+1)2=1，42=2，所以函数y=f(x)的图象关于点(1，2)对称，无法判断是否关于点(2，2)对称，A选项错误；
函数g(x)=2x−1x−1=2+1x−1，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(1，2)对称，B选项正确；
f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1，2)对称，不妨设x1