第二章　§2.4　函数的周期性和对称性-2026年高考数学大一轮复习课件含试题及答案（提高版）

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§2.4　函数的周期性和对称性 课标要求　1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用. 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且　　　　　　　　，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.  (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　的正数，那么这个　　　　　　　　就叫做f(x)的最小正周期.  2.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，则函数的图象关于直线x=a对称； (2)若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数的图象关于点　　　　　　对称.  (3)若f(x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为　　　　　　；若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为　　　　　　.  3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于　　　　对称；  (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于　　　　对称；  (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于　　　　对称.  1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.(　　) (2)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称.(　　) (3)若函数y=f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.(　　) (4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称.(　　) 2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2+1，则f(2 024.5)等于(　　) A.1716 B.54 C.2 D.1 3.下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是(　　) A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x 4.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点　　　　.  1.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2|a|； (2)若f(x+a)=1f(x)，则T=2|a|； (3)若f(x+a)=-1f(x)，则T=2|a|. 2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x=a和x=b对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=2|a-b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T=4|a-b|. 题型一　函数的周期性 例1　(1)若偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，当x∈(0，1)时，f(x)=x2+1，则f 72等于(　　) A.2 B.74 C.54 D.34 (2)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x-2)是偶函数，当0≤x≤2时，f(x)=x2-4x，则当6≤x≤8时，f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=-x2-4x B.f(x)=x2-16x+60 C.f(x)=x2-12x+32 D.f(x)=-x2+12x-32 思维升华　(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 跟踪训练1　(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6 C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024) D.函数f(x)的一条对称轴为直线x=32 题型二　函数的对称性 命题点1　自对称中的轴对称 例2　(多选)设f(x)是R上的奇函数，且对∀x∈R，都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[3，5]上单调递增 B.f(x)的最大值是1，最小值是0 C.直线x=1是函数f(x)的一条对称轴 D.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2 命题点2　自对称中的中心对称 例3　(多选)下列说法中，正确的是(　　) A.函数f(x)=2x-1x+2的图象关于点(-2，2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0，1)，则函数y=f(x-1)+1过定点(1，2) D.函数y=x-1x-b的图象关于点(3，c)中心对称，则b+c=2 命题点3　互对称问题 例4　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 思维升华　(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x)； 若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称. (2)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x)；若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2，c2成中心对称. 跟踪训练2　(1)(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x=3，则函数f(x)的解析式可以是(　　) A.f(x)=x+1x+3 B.f(x)=ex-3+e3-x C.f(x)=x4-18x2 D.f(x)=|x2-6x| (2)(多选)已知函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)=2x-1x-1，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点(2，2)对称 B.g(x)的图象关于点(1，2)对称 C.x1+x2+…+x2 026=2 026 D.y1+y2+…+y2 026=2 026 答案精析 落实主干知识 1.(1)f(x+T)=f(x) (2)最小　最小正数 2.(2)(a，0)　(3)x=a　(a，0) 3.(1)y轴　(2)x轴　(3)原点 自主诊断 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.B　3.C　4.(-1，2) 探究核心题型 例1　(1)C　[由已知可得f(x+2)+f(x)=0⇒f(x+4)+f(x+2)=0⇒f(x+4)=f(x)， 即T=4是函数f(x)的一个周期， 所以f 72=f -12=f 12 =122+1=54.] (2)D　[因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(x-2)为偶函数， 所以f(-x)=-f(x)，f(-x-2)=f(x-2)，即f(-x)=f(x-4)， 所以f(x-4)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x)， 可得f(x+8)=-f(x+4)=f(x)， 所以f(x)的一个周期为8， 又当0≤x≤2时，f(x)=x2-4x， 当6≤x≤8时，则0≤8-x≤2，所以f(8-x)=(8-x)2-4(8-x)=x2-12x+32， 又f(x)是周期为8的奇函数， 则f(x)=f(x-8)=-f(8-x)=-(x2-12x+32)=-x2+12x-32， 故f(x)=-x2+12x-32，x∈[6，8].] 跟踪训练1　ACD　[因为f(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，则f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A正确； 当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则当x∈[-6，-3]时，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B不正确； 由f(x+6)=f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2 025)=f(3+337×6)=f(3)=0，f(2 024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)，故C正确； 由A选项知，f(x)=-f(x+3)，又f(x)=-f(-x)，则f(x+3)=f(-x)，所以函数f(x)的一条对称轴为直线x=32，故D正确.] 例2　ACD　[因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，又因为f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确； 因为f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2-x)+f(-x)=0，从而f(2+x)+f(x)=0，所以f(4+x)+f(2+x)=0，所以f(4+x)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又因为当x∈[0，1]时，f(x)=x2单调递增，所以f(x)在[-1，0]上也单调递增，从而f(x)在[-1，1]上单调递增，又因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[3，5]上单调递增，故A正确； 因为f(x)在[-1，1]上单调递增，且f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[-1，3]上的最大值为f(1)=1，最小值为f(-1)=f(3)=-1，故B错误； 当3≤x≤4时，0≤4-x≤1，所以f(4-x)=(4-x)2，因为周期为4，所以f(-x)=f(4-x)=(4-x)2，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(4-x)2=-(x-4)2，故D正确.] 例3　ABC　[对于A，f(x)=2x-1x+2=2(x+2)-5x+2=2-5x+2，其图象可以由y=-5x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-5x的图象关于原点对称，故f(x)=2x-1x+2的图象关于点(-2，2)中心对称，A正确； 对于B，因为f(2x-1)为奇函数，所以f(2x-1)=-f(-2x-1)，所以f(x-1)=-f(-x-1)， 所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)关于点(-1，0)中心对称，B正确； 对于C，函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象，由于y=f(x)过定点(0，1)，故函数y=f(x-1)+1过定点(1，2)，C正确； 对于D，函数y=x-1x-b=(x-b)+b-1x-b=1+b-1x-b的图象关于点(3，c)中心对称， 所以3-b=0，c=1，解得b=3，c=1， 所以b+c=4，D不正确.] 例4　A　[设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))， 所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称， 所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称.] 跟踪训练2　(1)BD　[若f(x)的图象的对称轴方程为x=3，则f(6-x)=f(x). 对于A，f(6-x)=6-x+19-x≠f(x)，A错误； 对于B，f(6-x)=e3-x+ex-3=f(x)，B正确； 对于C，∵f(0)=0，f(6)=64-18×62=648，∴f(0)≠f(6)，即f(6-x)=f(x)不恒成立，C错误； 对于D，f(6-x)=|(6-x)2-6(6-x)|=|x2-6x|=f(x)，D正确.] (2)BC　[函数y=f(x+1)-2为定义在R上的奇函数，则有f(-x+1)-2=-f(x+1)+2， 即f(-x+1)+f(x+1)=4， 又(-x+1)+(x+1)2=1，42=2，所以函数y=f(x)的图象关于点(1，2)对称，无法判断是否关于点(2，2)对称，A选项错误； 函数g(x)=2x-1x-1=2+1x-1，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(1，2)对称，B选项正确； f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1，2)对称， 不妨设x1