2027年高考数学一轮复习第二章　§2.3　函数的奇偶性学案含解析

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函数的奇偶性
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. ( × )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. ( × )
(3)对于函数y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，则函数y=f(x)是奇函数. ( × )
(4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是奇函数. ( √ )
2.下列函数中是偶函数的是( )
A.f(x)=x+1B.f(x)=1x2
C.f(x)=(x)2D.f(x)=sin x
答案 B
解析 对于A，f(x)=x+1的定义域为R，且f(-x)=-x+1，所以f(-x)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，故f(x)=x+1为非奇非偶函数；
对于B，f(x)=1x2的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)=1(−x)2=1x2=f(x)，故f(x)=1x2为偶函数；
对于C，f(x)=(x)2的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，故f(x)=(x)2为非奇非偶函数；
对于D，f(x)=sin x的定义域为全体实数，且f(-x)=sin(-x)=-sin x≠f(x)，故f(x)=sin x不为偶函数.
3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是( )
A.f(x)+f(-x)=0
B.f(0)=0
C.f(x)·f(-x)≤0
D.f(x)f(−x)=-1
答案 ABC
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，且f(0)=0，A，B正确；
因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0，当x=0时，等号成立，C正确；
当x=0时，f(-x)=0，此时f(x)f(−x)无意义，D错误.
4.(2025·湛江期末)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0恒成立，
即f(x)的定义域为R，
f(-x)=lg2[-x+(−x)2+1]
=lg2(x2+1-x)=lg2(x2+1+x)-1
=-lg2(x2+1+x)=-f(x)，
故f(x)为奇函数.
(2)(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 ( )
A.函数f(-|x|)是奇函数
B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数
C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数
D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数
答案 BCD
解析 对于A，令g(x)=f(-|x|)，则g(x)的定义域为R，
又g(-x)=f(-|-x|)=f(-|x|)=g(x)，所以g(x)为偶函数，故A错误；
对于B，令x=y=0，有f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，
令y=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)，
即f(-x)+f(x)=0，所以f(x)为奇函数，B正确；
对于C，令y=-1，有f(-x)=f(x)+f(-1)，
令x=y=1，有f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，
令x=y=-1，所以f(1)=f(-1)+f(-1)⇒f(-1)=0，
所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，C正确；
对于D，在2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得2[f(0)]2=2f(0)，
因为f(0)≠1，所以f(0)=0，令y=-x，得2f(0)f(2x)=f(x)+f(-x)，即0=f(x)+f(-x)，所以f(x)是奇函数，故D正确.
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
跟踪训练1 (1)(2024·天津)下列函数是偶函数的是( )
A.f(x)=ex−x2x2+1B.f(x)=csx+x2x2+1
C.f(x)=ex−xx+1D.f(x)=sinx+4xex
答案 B
解析 对于A，函数定义域为R，
f(-x)=e−x−(−x)2(−x)2+1=e−x−x2x2+1≠f(x)，
故f(x)不是偶函数，故A错误；
对于B，函数定义域为R，
f(-x)=cs(−x)+(−x)2(−x)2+1=csx+x2x2+1=f(x)，
故f(x)为偶函数，故B正确；
对于C，函数定义域为{x|x≠-1}，
不关于原点对称，
故f(x)不是偶函数，故C错误；
对于D，函数定义域为R，
f(-x)=sin(−x)+4(−x)e|−x=−sinx−4xex
=-sinx+4xex=-f(x)，
故f(x)不是偶函数，故D错误.
(2)若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是( )
A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数
答案 C
解析 令x1=x2=0，则f(0)=f(0)+f(0)+1，所以f(0)=-1，则f(x)不为奇函数，故A错误；
令x1=x，x2=-x，
则f(0)=f(x)+f(-x)+1，
所以f(x)+1+f(-x)+1=0，
即f(x)+1=-[f(-x)+1]，所以f(x)+1为奇函数，故B，D错误，C正确.
题型二 函数的奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求解析式
例2 (1)(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)，则函数的解析式为 .
答案 f(x)=x(1+x),x≥0,x(1−x),xf(x+1)的解集为( )
A.−13，1
B.−∞，−13∪(1，+∞)
C.−13，13
D.−∞，−13∪13，+∞
答案 B
解析 函数f(x)=ln(1+x4)-11+3x的定义域为R，且f(-x)=ln(1+x4)-11+3x=f(x)，即f(x)为偶函数，
当x>0时，y=ln(1+x4)与y=-11+3x均单调递增，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，则不等式f(2x)>f(x+1)等价于|2x|>|x+1|，
即(2x)2>(x+1)2，解得x>1或xf(x+1)的解集为−∞，−13∪(1，+∞).
思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
跟踪训练2 (1)若函数f(x)=(x2+ax)lg2+x2−x为奇函数，则a的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
答案 B
解析 令2+x2−x>0，解得-2