2027年高考数学一轮复习第二章　§2.5　二次函数与幂函数学案含解析

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1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，+∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增；
③当αc>aD.a>c>b
答案 A
解析 由题意可得14=2α，所以α=-2，
所以f(x)=x-2，易知当x>0时，f(x)=x-2单调递减，
又1a>c.
(2)(2025·江门模拟)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm的图象关于y轴对称，则f(2m+2)等于( )
A.12B.14C.18D.116
答案 B
解析 由函数f(x)=(m2-m-5)xm是幂函数，得m2-m-5=1，解得m=-2或m=3，
当m=3时，f(x)=x3是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；
当m=-2时，f(x)=x-2是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意，因此m=-2，f(x)=x-2，
所以f(2m+2)=f(-2)=(-2)-2=14.
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
解 方法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得4a+2b+c=−1,a−b+c=−1,4ac−b24a=8,解得a=−4,b=4,c=7.
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1)，
所以抛物线的对称轴为x=2+(−1)2=12，
所以m=12.
又根据题意，函数有最大值8，
所以n=8，
所以f(x)=ax−122+8.
因为f(2)=-1，所以a2−122+8=-1，
解得a=-4，
所以f(x)=-4x−122+8=-4x2+4x+7.
方法三 (利用“零点式”解题)
由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1，
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)，
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8，即4a(−2a−1)−(−a)24a=8.
解得a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
思维升华 求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x=2，且方程f(x)=0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为 .
答案 f(x)=x2-4x+3
解析 依题意，设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0)，
由二次函数f(x)的图象过点(0，3)，
得f(0)=3，
所以4a+h=3，即h=3-4a，
所以f(x)=a(x-2)2+3-4a，
令f(x)=0，即a(x-2)2+3-4a=0，
所以ax2-4ax+3=0，
设方程的两根为x1，x2，
则x1+x2=4，x1x2=3a，
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-6a，
所以16-6a=10，解得a=1，
所以f(x)=x2-4x+3.
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 (多选)(2025·潮州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，正确的是( )
A.abc2b
答案 BCD
解析 ∵抛物线的开口向下，∴a0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴-b2a=-1，
∴b=2a0，故A错误；
由题图知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，于是有a+b+c=0，故B正确；
将b=2a代入a+b+c=0，可得3a+c=0，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)，
∴当x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0，
∴4a+c>2b，故D正确.
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 (2026·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1.
(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.
解 (1)由题意知a≠0.
当a>0时，f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上，对称轴方程为x=12a，
所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足12a≥2，
又a>0，所以0