新高考数学一轮复习考点学案第2章§2.4函数的周期性和对称性（含答案解析）

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1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个___________就叫做f(x)的最小正周期.
2.函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称.
(3)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为 .
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于 对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( )
(2)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称.( )
(3)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称.( )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.( )
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于( )
A.1716B.54
C.2D.1
3.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )
A.f(－1)f(3)
C.f(－1)＝f(3)D.f(0)＝f(3)
4.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点 .
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则2|a|是f(x)的一个周期；
(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则2|a|是f(x)的一个周期；
(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则2|a|是f(x)的一个周期.
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称，则函数f(x)的一个周期为2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为4|a－b|.
题型一 函数的周期性
例1 (1)已知函数f(x)满足f(2＋x)＝－f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x2－x，则f(2 026)等于( )
A.0B.2
C.6D.20
(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x－1)＝f(x＋2)，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是( )
A.2 024B.2 023
C.1D.0
思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
跟踪训练1 (多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则下列结论正确的是( )
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6，－3]时，f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024)
D.函数f(x)的图象关于点(－6，0)对称
题型二 函数的对称性
命题点1 自对称中的轴对称
例2 (多选)设f(x)是R上的奇函数，且对∀x∈R，都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是( )
A.f(x)在[3，5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1，最小值是0
C.直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴
D.f(x)的一个周期为4
命题点2 自对称中的中心对称
例3 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.函数f(x)＝2x−1x＋2的图象关于点(－2，2)对称
B.若函数f(x)为奇函数，则函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(－1，1)对称
C.若函数f(x)满足f(4－x)＝－f(x)，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称
D.若函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称
命题点3 互对称问题
例4 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3，0)对称
思维升华 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称.
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点a＋b2，c2成中心对称.
跟踪训练2 (1)(多选)下列结论正确的是( )
A.函数f(x)满足f(x－6)＋f(－x)＝0，则函数f(x)的图象关于直线x＝－3对称
B.函数f(x)＝cs xsin 2x的图象关于直线x＝π2对称
C.函数f(x)＝esin x－ecs x的图象关于点π4，0中心对称
D.函数y＝3x与y＝32－x的图象关于直线x＝1对称
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为 .
答案精析
落实主干知识
1.(1)f(x＋T)＝f(x) (2)最小 最小正数
2.(2)(a，0) (3)x＝a (a，0)
3.(1)y轴 (2)x轴 (3)原点
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.B [由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的一个周期为2，
当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，
∴f(2 024.5)＝f 2 024＋12
＝f 12＝14＋1＝54.]
3.A [因为f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(3)＝f(1)，
由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，
所以f(－1)－1，即x2