2027年高考数学一轮复习第二章　§2.1　函数的概念及其表示学案含解析

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§2.1 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数. ( × )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示. ( × )
(3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点. ( √ )
(4)函数f(x)=x−1,x≥0,x2,x1,则f(f(-2))= .
答案 1
解析 因为f(-2)=(-2)2=4，所以f(f(-2))=f(4)=lg44=1.
防范四个易错点
(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.
(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.
(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.
(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.
题型一 函数的概念
例1 (1)(多选)下列选项中正确的是( )
A.函数y=lg(4−x)x−2的定义域为(-∞，2)∪(2，4)
B.函数图象与y轴至多有一个交点
C.函数y=x2−1x+1与函数y=x-1表示同一个函数
D.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
答案 ABD
解析 对于A，由题意知4−x>0,x−2≠0,解得x0,x−2≠0,解得10⇒−4≤x≤1,x≠0,x>−1,解得-1