第二章 2.1　函数的概念及其表示 课件2027高考数学一轮总复习

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1.函数的概念(1)函数的定义一般地,设A,B是____________,如果对于集合A中的____________,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有______________和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.(2)函数的三要素函数由______、____和________三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,______的取值范围(即数集A)称为这个函数的______,__________组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.
3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的________,这样的函数叫做________.
1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中,非空实数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集.3.分段函数虽由几部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
(2)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(x-1)的定义域是 .【解析】　由函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],得-2≤x≤3,则-1≤x+1≤4,由-1≤x-1≤4,解得0≤x≤5,所以y=f(x-1)的定义域是[0,5].
1.求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组求解;对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
3.定义域是一个集合,要用集合的描述法或区间等形式表示.若定义域不连续,则用区间表示时,应分成多个区间,各区间之间不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
考点2 求函数的解析式【例2】　(1)已知f(1-sin x)=cs2x,求f(x)的解析式.【解】(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,∵f(1-sin x)=cs2x=1-sin2x,∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2],即f(x)=2x-x2(0≤x≤2).
(4)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式.【解】(解方程组法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2①,∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2②,由①+2×②得-3f(x)=-9x+6,∴f(x)=3x-2.
关于分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值或范围:先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的某段上,然后求出相应自变量的值或范围,再用同样的方法求其余各段上自变量的值或范围,最后综合得出结果.切记要代入检验.
(-∞,0)∪(0,1]
4.(5分)已知函数f(x)=x-[x],其中[x]为不超过x的最大整数,则函数f(x)的值域为(　 　)A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]解析:由题意,[x]为不超过x的最大整数,则x-1