新高考数学一轮复习考点学案第2章§2.1函数的概念及其表示（含答案解析）

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课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念
一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 .
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.( )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.( )
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.( )
(4)函数f(x)＝x−1,x≥0,x2,x1,则f(f(－2))＝ .
1.求函数的定义域时，需掌握的几个常用结论
(1)分式型1f(x)要满足f(x)≠0.
(2)根式型2nf(x)(n∈N*)要满足f(x)≥0.
(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0.
(4)对数型lgaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0.
(5)正切型tan [f(x)]要满足f(x)≠π2＋kπ，k∈Z.
2.谨防四个易误点
(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.
(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.
(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.
(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.
题型一 函数的概念
例1 (1)(多选)下列选项中正确的是( )
A.函数f(x)＝1x＋1－x的定义域为[0，＋∞)
B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
C.函数y＝x2−1x＋1与函数y＝x－1表示同一个函数
D.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
(2)(2025·阜阳模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为0，4，则函数y＝f(x＋1)x−1＋(x－2)0的定义域是 .
思维升华 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝1x−2＋ln(x－1)的定义域为( )
A.(1，＋∞)B.(1，2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)D.(0，2)∪(2，＋∞)
(2)(多选)下列命题中是假命题的是( )
A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
B.f(x)＝x−3＋2−x是函数
C.若函数f(x)的定义域为(－1，2)，则函数f(x＋1)的定义域为(0，3)
D.f(x)＝x＋1x和g(t)＝t＋1t是同一个函数
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知fx2＋1x2＝x4＋1x4，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知函数f(x)满足f(x)＋2f1x＝x，求函数f(x)的解析式.
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
跟踪训练2 (1)若f1x＝x1−x，则f(x)＝ .
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝ .
题型三 分段函数
例3 (1)(多选)(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)＝x＋2,x≤−1,x2,−11,x≠2,
则x∈(1，2)∪(2，3].
跟踪训练1 (1)B [因为f(x)＝1x−2＋ln(x－1)，
所以要使函数有意义，则x−1>0,x−2≠0,
解得x>1且x≠2，
所以f(x)的定义域为(1，2)∪(2，＋∞).]
(2)ABC [对于A，因为函数y＝2x(x∈N)的定义域为N，所以其图象是由离散的点(整点，横坐标和纵坐标都是整数)组成的，A错误；
对于B，因为要使2−x与x−3有意义，则2−x≥0,x−3≥0,不等式组无解，所以由函数的定义可得f(x)＝x−3＋2−x不是函数，B错误；
对于C，由f(x)的定义域为(－1，2)可得－1