2027届高中数学高考一轮复习学案第二章　第6课时　函数的概念及其表示

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1．(多选)(苏教版必修第一册P115练习T4改编)下列所给图象是函数图象的是( )
A B C D
2．(北师大版必修第一册P55例2改编)函数f (x)＝4−xx−3的定义域为 ( )
A．(－∞，4]B．(－∞，3)∪(3，4]
C．[－2，2]D．(－1，2]
3．(人教A版必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是( )
A．y＝(x+1)2B．y＝3x3＋1
C．y＝x2x＋1D．y＝x2＋1
4．(多选)(人教B版必修第一册P94尝试与发现改编)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f (x)＝1，x为有理数，0，x为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数f (x)，下列说法正确的是( )
A．f (x)的值域为[0，1]
B．f (x)的定义域为R
C．∀x∈R，f (f (x))＝1
D．存在x，y是无理数，f (x＋y)＝1
5．(湘教版必修第一册P78习题3.1T12改编)已知f (2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f (1)＝___________；f (a)＝___________．
1．函数的概念
一般地，设A，B是______________________，如果对于集合A中的___________一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有___________的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．
2．同一个函数
(1)函数的三要素：______________、______________、___________．
(2)如果两个函数的___________相同，并且______完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法：___________、___________、___________．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
2．求函数解析式的常用方法
待定系数法、换元法、配凑法、消元法(解方程组法)、赋值法等，其中用换元法求解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围．
3．分段求解是解决分段函数问题的基本原则，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点一 求函数的定义域
[典例1] (2026·辽宁葫芦岛模拟)已知函数y＝f (2x＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y＝f(x)lg2(x+2)的定义域为( )
A．[－1，2]B．(－1，2]
C．[－1，5]D．(－1，5]





名师点评：求抽象函数定义域的方法
(1)若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围，即为f (g(x))的定义域．
(2)若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域．
[巩固迁移]
1．(2026·湖南长沙模拟)已知函数y＝f (x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，则函数y＝f (x＋1)的定义域和值域分别为( )
A．[0，2]和[6，10]B．[－2，0]和[6，10]
C．[0，2]和[5，9]D．[－2，0]和[5，9]
2．(2026·福建厦门模拟)已知函数f (x)＝1−mx−mx2的定义域为R，则实数m的取值范围为______________．
考点二 求函数的解析式
[典例2] (1)已知f (x＋1)＝x－2x，则f (x)＝___________；
(2)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，则f (x)＝___________；
(3)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，则f (x)＝___________；
(4)设f (x)是定义在R上的函数，且满足f (0)＝1，且对任意的实数x，y都有f (x－y)＝f (x)－y(2x－y＋1)，则f (x)＝___________．





名师点评：对于含双变量x，y的抽象函数求解析式问题常采用赋值法．
[巩固迁移]
3．(1)已知f (x)满足f (x)－2f 1x＝2x，则f (x)＝___________．
(2)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝___________．
(3)定义在R上的函数f (x)满足f (0)＝1，且对任意x，y∈R都有f (xy＋1)＝f (x)·f (y)－f (y)－x＋2，则f (2 027)＝___________．
考点三 分段函数
[典例3] (多选)(2026·山东枣庄模拟)已知函数f (x)＝x+2，x≤−1，x2，−1