第二章　§2.1　函数的概念及其表示-2027年高考数学大一轮复习课件（讲义含答案）

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1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素： 、 、 .(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 .4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
2.以下图形中，不是函数图象的是
解析　根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个x值对应两个y值，所以A不是函数图象.
解析　因为f(-2)=(-2)2=4，所以f(f(-2))=f(4)=lg44=1.
防范四个易错点(1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化.(2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.(4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错.
函数的概念及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.
(-1，0)∪(0，1]
例2　(1)已知f(1-sin x)=cs2x，求f(x)的解析式；
解　(换元法)设1-sin x=t，t∈[0，2]，则sin x=1-t，∵f(1-sin x)=cs2x=1-sin2x，∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2，t∈[0，2].即f(x)=2x-x2(0≤x≤2).
例2　(3)已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x-3，求f(x)的解析式；
函数解析式的求法(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
解析　由x-4≥0，得x≥4，故M=[4，+∞)，由y=3x2+1，得y≥1，故N=[1，+∞)，故M∪N=[1，+∞).
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是
解析　水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加得由快变慢，中间增加得最慢，最后增加得由慢变快，由图可知选项A符合.
6.(2025·吉林模拟)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算，对于中国乃至世界是一个重大贡献.已知圆周率π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法不正确的是A.y=f(n)，n∈N*是一个函数B.当n=5时，f(n)=3.141 59C.f(4)=f(8)D.f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
解析　对于A，对于任意n∈N*，均存在唯一的f(n)与之对应，符合函数的定义，y=f(n)，n∈N*是一个函数，故A正确；对于B，C，f(5)=9，f(4)=5=f(8)，故B错误，C正确；对于D，根据定义f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确.
解析　当a>0时，由f(a)