2.1函数的概念及其表示学案-2024届高三数学一轮复习

2.1函数的概念及其表示

【考试要求】1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．

【再现型题组】

1、下列说法正确的是       

①集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域是B；

②两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同；

③分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集；

④函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线；

⑤直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点

【答案】②③⑤

2．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)

A．y＝x－1与y＝   B．y＝x－1与y＝－

C．y＝2与y＝2x      D．y＝与v＝

答案　D

解析　y＝x－1的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；

y＝x－1＝与y＝－的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；

y＝2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；

y＝与v＝的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D正确．

3、已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是(　　)

A．f：x→y＝x＋1   B．f：x→y＝ex

C．f：x→y＝x2   D．f：x→y＝|x|

答案　B

解析　对于A，当x＝－1时，由f：x→y＝x＋1得y＝0，但0∉B，故A错误；

对于B，因为从A＝{x|－2<x≤1}中任取一个元素，通过f：x→y＝ex在B＝{x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确；

对于C，当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0∉B，故C错误；

对于D，当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0∉B，故D错误．

4、已知函数，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【详解】，，.

故选：D

5、（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．

【答案】

【详解】解：因为，所以，解得且，

故函数的定义域为；

故答案为：

【巩固型题组】

1、函数y＝的定义域为(　　)

A．(－4，－1)   B．(－4,1)

C．(－1,1)   D．(－1,1]

答案　C

解析　由题意得解得－1<x<1，故定义域为(－1,1)．

2、已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为________．

答案　[－2，－1)

解析　∵f(x)的定义域为(－4，－2)，

要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，

则解得－2≤x<－1，

∴函数g(x)的定义域为[－2，－1)．

【变式1】函数的定义域为，则的取值范围为（    ）

A． B．  C． D．

【答案】A

【详解】当时，，定义域不为；

当时，若函数的定义域为，

则，解得

故选：A.

【变式2】已知函数在上有意义，则实数m的范围是____________．

【答案】

【详解】要使函数有意义，则（），

解得，所以函数的定义域为，

所以，所以，解得，

所以实数m的范围是.

故答案为：

【变式3】已知函数的定义域为，则实数的值是______．

【答案】2

【详解】由题意，要使函数有意义，

则，即，

所以，此时由，可得，符合题意.

故答案为：2.

3、(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；

(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．

(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．

解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，

则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，

∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．

即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．

(2)(配凑法)∵f ＝x2＋＝2－2，

∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.

即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，

∴解得

∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.

(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①

∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②

由①②解得f(x)＝3x.

4、（1）已知函数f(x)＝则f(2 024)的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

答案　C

解析　因为f(x)＝

所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，

又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1.

（2）已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．

答案　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞)

解析　若f(a)＝4，

则或

解得a＝－2或a＝5.

若f(a)≥2，

则或

解得－3≤a<－1或a≥4，

∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．

【提高型题组】

1、已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　)

A．－1  B．1  C．－  D.

答案　B

解析　∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，

∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①

当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②

②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.

2、∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　)

A．(－2,2)  B．(－2,0)∪(0,2)  C．[－2,2]  D．(－，)

答案　B

解析　当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，

当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，

所以M(x)＝

若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，

当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，

解得－2<n≤－1或1≤n<2，

综上，－2<n<0或0<n<2.

3、(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是(　　)

A．F(F(x))＝0

B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立

C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立

D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形

答案　BD

解析　∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A，B(0,1)，C，恰好△ABC为等边三角形，故D正确．

【反馈型题组】

1、函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由得：，即的定义域为.

故选：A.

2、函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：由题意得

解得且.

故选：D

3、(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是(　　)

A．y＝－x＋1  B．C．y＝ln|x|  D．y＝

答案　ABD

解析　对A，函数的定义域和值域都是R；

对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；

对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；

对D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

所以ABD是定义域和值域相同的函数．

4、已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，

所以，

则，.

综上：只有B正确.

故选：B

5、已知函数，若，则实数的值等于（    ）

A． B． C．1 D．3

【答案】A

【详解】，据此结合题意分类讨论：

当时，，

由得，解得，舍去；

当时，，

由得，解得，满足题意.

故选：A．

6、若二次函数满足，，求.

【答案】.

【详解】因为二次函数满足；所以设，

则：；

因为，

所以；

∴；∴；∴，；

∴.

故答案为： .