北师大版数学九年级上册_第1单元_特殊平行四边形_单元测试卷(含解析)

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第1单元 特殊平行四边形 测试卷（满分：100分　　时间：100分钟）一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系，表述正确的是（________）。　　A. 每个矩形都是正方形　　B. 矩形与菱形没有共同成员　　C. 正方形是菱形，但不是矩形　　D. 正方形既是矩形又是菱形，并具有平行四边形的所有性质2. 在矩形ABCD中，下列结论一定成立的是（________）。　　A. AC⊥BD　　B. ∠A=90°　　C. AB=BC　　D. AC平分∠DAB3. 菱形的两条对角线长分别为12和16，则它的边长为（________）。　　A. 7　　B. 10　　C. 14　　D. 204. 在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，M是BC的中点，则AM的长为（________）。　　A. 4　　B. 5　　C. 8　　D. 105. 已知四边形ABCD是矩形。下列新增条件中，能判定ABCD是正方形的是（________）。　　A. AC=BD　　B. OA=OC，其中O为两条对角线交点　　C. AB=BC　　D. ∠A=90°6. 下列条件能判定四边形ABCD是菱形的是（________）。　　A. AC⊥BD　　B. ABCD是平行四边形，且AC⊥BD　　C. AB=BC　　D. ABCD是平行四边形，且AC=BD正方形ABCD7. 正方形ABCD的对角线AC=8√2，则正方形的周长为（________）。　　A. 16　　B. 16√2　　C. 32　　D. 32√28. 顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH。若AC=BD且AC不垂直BD，则EFGH一定是（________）。　　A. 一般平行四边形　　B. 矩形但不是正方形　　C. 菱形但不是正方形　　D. 正方形9. 在边长为a的正方形四个角处分别截去腰长为x的全等等腰直角三角形。要使剩下的八边形八边相等，应满足（________）。　　A. x=a/2　　B. x=a(√2−1)　　C. x=a(2−√2)/2　　D. x=a√2/210. 一个正八边形绕其中心旋转后与自身第一次重合，旋转角为（________）。　　A. 22.5°　　B. 45°　　C. 90°　　D. 135°二、填空题（每题3分，共18分）11. 一个平行四边形若有一个角是90°，则它是（________）；若再有一组邻边相等，则它是（________）。12. 菱形的一条对角线长为10，边长为13，则另一条对角线长为（________），面积为（________）。13. 矩形ABCD的对角线交于O，AC=10，∠AOB=60°，则AB=（________）。14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=14，D为AB中点，则CD=（________）。15. 顺次连接任意四边形各边中点所得四边形为正方形，当且仅当原四边形的两条对角线（________）且（________）。16. 用等距截角法在边长为10的正方形内作八个顶点都在正方形边上的正八边形，则正八边形的边长为（________）。三、解答题（第17—22题每题6分，第23—24题每题8分，共52分）菱形ABCD17. (6分) 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于O，AC=16，BD=12。（1）求菱形的边长；（2）求菱形的面积；（3）求点O到边AB的距离。直角三角形及斜边中点18. (6分) 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，M是斜边BC的中点。（1）不直接引用“斜边中线定理”，通过补成矩形证明MA=MB=MC；（2）求MA的长。以AC为对角线作菱形在给定线段AC上完成尺规作图：分别以A、C为圆心、给定长度l为半径作弧，标出两个交点B、D并连接；保留圆弧。19. (6分) 尺规作图：已知线段AC和长度l，且l>AC/2。作一个以AC为对角线、边长为l的菱形ABCD。保留作图痕迹，并说明作法为什么正确；再说明所得图形在全等意义下是否唯一。平行四边形ABCD20. (6分) 如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线AC、BD交于O，且AC=BD，AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。要求写出两条彼此独立的“升级”路径。反例四边形ABCD（示意）21. (6分) 小明说：“两条对角线相等且互相垂直的四边形一定是正方形。”已知四边形ABCD四个顶点依次为A(−2,0)、B(0,1)、C(2,0)、D(0,−3)。（1）核对AC与BD的长度和位置关系；（2）判断ABCD是否为正方形，并指出小明推理缺失的关键结构；（3）在保留“对角线相等且互相垂直”的基础上，补充一个关于对角线的条件，使结论必然成立，并证明。四边形及其中点四边形22. (6分) 在任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接得到四边形EFGH。（1）证明EFGH总是平行四边形；（2）以“AC与BD是否相等、是否垂直”为两个维度，写出四种情形下EFGH的准确类别；（3）若EFGH是正方形，能否断定ABCD是正方形？说明理由。在正方形ABCD内作正八边形只能使用圆规和无刻度直尺。先作正方形中心O，构造x=AB−AO，再把x转移到每条边的两个端点处，顺次连接八点；保留辅助线和圆弧。等距截角后的结构示意23. (8分) 尺规实践：给定正方形ABCD，设计“等距截角法”，作一个八个顶点都在正方形四边上的正八边形。（1）写出作图步骤，并说明怎样不用刻度尺构造角部截取长度x；（2）证明所得八边形八条边相等、八个内角均为135°；（3）说明八个顶点为何满足本活动的“内嵌”位置要求。正方形中的等距点与交线24. (8分) 如图，在边长为a的正方形ABCD中，点E在线段AB上，点F在线段BC上，连接DE、AF并交于P。记AE=x，BF=y。（1）若x=y，证明DE=AF且DE⊥AF；（2）反过来，若DE⊥AF，证明x=y；（3）当a=6，x=y=2时，求AP∶PF。参 考 答 案单项选择题第1题：D【解析】正方形同时满足矩形和菱形的定义，因此也属于平行四边形；一般矩形或一般菱形不一定是正方形。第2题：B【解析】矩形四个角都是直角。对角线垂直、邻边相等、对角线平分顶角都不是一般矩形必有的性质。第3题：B【解析】菱形对角线互相垂直平分，半对角线长为6和8，边长为√(6²+8²)=10。第4题：B【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以AM=BC/2=5。第5题：C【解析】矩形已有对角线相等、互相平分和四个直角；补充一组邻边相等后，矩形同时成为菱形，从而是正方形。第6题：B【解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形。A、C缺少足够前提；D判定的是矩形。第7题：C【解析】正方形边长为AC/√2=8，所以周长为4×8=32。第8题：C【解析】EF、FG分别等于AC、BD的一半。AC=BD使EF=FG，所以平行四边形EFGH是菱形；AC不垂直BD说明相邻边不垂直，故不是正方形。第9题：C【解析】八边形的两类边长分别为a−2x和x√2。由a−2x=x√2，得x=a/(2+√2)=a(2−√2)/2。第10题：B【解析】正八边形的8个顶点均匀分布，最小正旋转角为360°/8=45°。填空题第11题：矩形；正方形【解析】平行四边形有一个直角可判为矩形；矩形再有一组邻边相等可判为正方形。第12题：24；120【解析】半对角线为5和√(13²−5²)=12，所以另一条对角线长24，面积为10×24/2=120。第13题：5【解析】矩形对角线相等且互相平分，所以OA=OB=5。又∠AOB=60°，△AOB为等边三角形，故AB=5。第14题：7【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD=14/2=7。第15题：相等；互相垂直【解析】中点四边形的一组邻边分别平行且等于原两条对角线的一半；相等使其成为菱形，垂直使其成为矩形，两者兼有即为正方形。第16题：10(√2−1)【解析】设角部截取长度为x，则10−2x=x√2，正八边形边长为x√2=10(√2−1)。解答题第17题：（1）10；（2）96；（3）24/5。【解析】（1）因为四边形ABCD是菱形，所以两条对角线互相垂直平分。于是AO=8，BO=6，∠AOB=90°。在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√(8²+6²)=10。（2）菱形面积等于两条对角线长乘积的一半，所以S菱形ABCD=16×12/2=96。（3）设点O到AB的距离为h。菱形的两条对角线平分顶角，O在四个内角的角平分线上，因此O到四边的距离相等。把菱形分成以四条边为底、以h为高的四个三角形，得96=4×(1/2)×10×h，解得h=24/5。复核：四个小三角形面积均为24，和为96，与对角线面积公式一致。【2分】写出半对角线与垂直关系，并正确求得边长10；使用全等或其他等价路径同样给分。【2分】正确求得菱形面积96，并写明所用面积关系。【2分】建立总面积与四个等高三角形的关系并求得距离24/5；等价的三角形面积或内切圆思路同样给分。第18题：（1）补成矩形后由对角线相等且互相平分可得MA=MB=MC；（2）MA=5。【解析】（1）过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，两线交于D，则四边形ABDC是平行四边形。又∠A=90°，所以ABDC是矩形。矩形的两条对角线AD、BC相等且互相平分；M是BC中点，也就是两条对角线交点，因此MA=MD=MB=MC，特别地MA=MB=MC。（2）在Rt△ABC中，BC=√(AB²+AC²)=√(6²+8²)=10。由（1）或直角三角形斜边中线定理，MA=BC/2=5。复核：MA、MB、MC均为5，点M到三个顶点等距。【3分】正确补成矩形，并由矩形对角线相等且互相平分推出MA=MB=MC；用全等、圆或其他完整等价证明同样给分。【2分】用勾股定理求得BC=10。【1分】求得MA=5并完成结论复核。第19题：分别以A、C为圆心、l为半径作圆，两圆交于B、D，连接AB、BC、CD、DA。所得四边形是菱形；在全等意义下唯一。【解析】作法：①分别以A、C为圆心、l为半径作圆；因l>AC/2，两圆有两个交点，分别记为B、D；②依次连接AB、BC、CD、DA。证明：B、D都在以A为圆心、l为半径的圆上，所以AB=AD=l；B、D也都在以C为圆心、l为半径的圆上，所以CB=CD=l。于是AB=BC=CD=DA，四边相等的四边形是菱形。唯一性：两圆的交点由AC与l确定，B、D只能是这两个交点；交换B、D只得到关于AC对称的同一全等图形。因此在全等意义下唯一。复核：若l=AC/2，两圆相切，四个顶点不能形成非退化菱形；题设l>AC/2保证构造条件完备。【2分】按要求使用圆规构造两个交点并连接成四边形，作图痕迹清楚；等价尺规步骤同样给分。【3分】由圆的半径关系证明四条边均为l，并据四边相等判定菱形；其他条件充分的等价证明同样给分。【1分】说明l>AC/2保证两圆相交，并正确判断全等意义下唯一；等价论证同样给分。第20题：路径一：平行四边形＋对角线相等→矩形；矩形＋对角线垂直→正方形。路径二：平行四边形＋对角线垂直→菱形；菱形＋对角线相等→正方形。【解析】路径一：因为ABCD是平行四边形，且AC=BD，所以对角线相等的平行四边形ABCD是矩形。又因为AC⊥BD，所以对角线互相垂直的矩形ABCD是正方形。路径二：因为ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，所以对角线互相垂直的平行四边形ABCD是菱形。又因为AC=BD，所以对角线相等的菱形ABCD是正方形。两条路径都先使用平行四边形身份完成第一次升级，再补另一类特殊条件；不能省略共同前提。复核：结论同时具有矩形的四个直角和菱形的四边相等，符合正方形定义。【3分】完整写出“先判矩形、再判正方形”的证据链，或给出同等充分的完整证明。【3分】完整写出“先判菱形、再判正方形”的独立证据链；使用定义、全等等其他独立等价路径同样给分。第21题：（1）AC=BD=4且AC⊥BD；（2）ABCD不是正方形，缺少对角线互相平分（或平行四边形）结构；（3）补充“对角线互相平分”即可。【解析】（1）A、C在x轴上，AC=2−(−2)=4；B、D在y轴上，BD=1−(−3)=4。x轴与y轴互相垂直，所以AC=BD且AC⊥BD。（2）AC的中点为(0,0)，BD的中点为(0,−1)，两条对角线不互相平分，因此ABCD不是平行四边形。也可计算AB=BC=√5，而CD=DA=√13，四边不相等，所以它不是正方形。小明把正方形的两条对角线性质直接反用，漏掉了“对角线互相平分”或“先是平行四边形”的关键结构。（3）补充条件：两条对角线互相平分。此时四边形先由“对角线互相平分”判为平行四边形；再由对角线相等判为矩形，由对角线垂直判为菱形，因此它既是矩形又是菱形，必为正方形。等价地，也可从平行四边形分别升级后完成证明。复核：补充条件排除了本题这种等长、垂直但交点不是共同中点的反例。【2分】正确核对两条对角线长度均为4且互相垂直。【2分】通过中点或边长说明反例不是正方形，并明确指出缺失的平行四边形结构。【2分】补充对角线互相平分并写出充分证明；补充“ABCD是平行四边形”等等价条件并完整证明同样给分。第22题：（1）EFGH为平行四边形；（2）相等且垂直→正方形，相等但不垂直→菱形但非正方形，不相等但垂直→矩形但非正方形，既不相等也不垂直→一般平行四边形；（3）不能，只能推出AC=BD且AC⊥BD。【解析】（1）在△ABC中，E、F是两边中点，所以EF∥AC且EF=AC/2；在△CDA中，G、H是两边中点，所以GH∥AC且GH=AC/2。因此EF∥GH且EF=GH。同理，在△BCD和△DAB中可得FG∥BD、HE∥BD，且FG=HE。故四边形EFGH是平行四边形。（2）若AC=BD且AC⊥BD，则EF=FG且EF⊥FG，EFGH既是菱形又是矩形，故为正方形。若AC=BD但AC不垂直BD，则EF=FG而相邻边不垂直，EFGH是菱形但不是正方形。若AC≠BD但AC⊥BD，则EF≠FG而相邻边垂直，EFGH是矩形但不是正方形。若AC≠BD且AC不垂直BD，则只能保证EFGH是一般平行四边形。（3）不能。EFGH是正方形只可反推出AC=BD且AC⊥BD，不能推出AC、BD互相平分。第21题给出的四边形就是反例：它的对角线相等且垂直，因而中点四边形是正方形，但原四边形不是正方形。数学思想：用三角形中位线把新图形的边转化为原图形的对角线，再按两个独立条件穷举分类。【2分】用两组三角形中位线关系完整证明EFGH为平行四边形；其他等价证明同样给分。【3分】按相等/不相等、垂直/不垂直穷举四种情形，类别均准确且边界清楚。【1分】明确不能反推原四边形为正方形，并给出有效反例或指出缺少对角线互相平分条件。第23题：设正方形边长为a、中心为O，构造x=a−AO；在每条边两端各截取x并顺次连接八点。所得八边形边长均为a(√2−1)，内角均为135°，且八点均在正方形四边上。【解析】作图：①连接AC、BD，交于O；②以AO为半径、以B为圆心作弧交BA于P，则AP=AB−BP=a−AO，记x=AP；③用圆规把长度x转移到正方形每条边的两个端点处，共得到八个点；④按边界顺序连接这八点，保留辅助线与圆弧。边相等：正方形对角线AC=a√2，所以AO=a√2/2，x=a−a√2/2。角部斜边是腰长为x的等腰直角三角形的斜边，长为x√2=a√2−a=a(√2−1)。每条正方形边中间保留的线段长为a−2x=a−2(a−a√2/2)=a√2−a=a(√2−1)。因此八条边相等。角相等：每个角部小三角形都是等腰直角三角形，其锐角为45°；八边形在截角点处的内角为180°−45°=135°。八个截角点同理，所以八个内角都为135°，所得图形是正八边形。位置：八个顶点全部落在正方形四条边上，每条边有两个顶点，图形其余部分在正方形内部，满足“至少四个顶点分别在四条边上”的内嵌要求。复核：边、角、位置三类证据齐全，测量只可作为操作误差检查，不能替代证明。数学思想：把“作正八边形”转化为构造一个确定长度，并通过全等与勾股关系重复转移。【3分】尺规步骤可执行，正确构造并转移x=a−AO，八个点的位置完整；其他等价尺规构造同样给分。【3分】分别求出角部斜边和边上保留线段，并证明八边相等；使用全等、旋转等等价证法同样给分。【1分】证明八个内角均为135°，或用等价的等角证据完成说明。【1分】逐项说明图形在正方形内部且四条边均有接触顶点，正确核对内嵌定义。第24题：（1）DE=AF且DE⊥AF；（2）x=y；（3）AP∶PF=3∶7。【解析】（1）在△DAE与△ABF中，DA=AB，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF，所以△DAE≌△ABF（SAS），从而DE=AF，且∠ADE=∠BAF。又∠ADE+∠AED=90°，而∠AED与DE、AB所成的锐角相等，因此DE与AF的夹角为90°，即DE⊥AF。也可建立坐标，用方向向量(x,−a)与(a,x)的数量积ax−ax=0证明垂直。（2）建立坐标：取A(0,0)、B(a,0)、C(a,a)、D(0,a)，则E(x,0)、F(a,y)。直线DE的方向向量可取(x,−a)，直线AF的方向向量可取(a,y)。由DE⊥AF，得(x,−a)·(a,y)=ax−ay=a(x−y)=0。因为a>0，所以x=y。（3）当a=6、x=y=2时，A(0,0)、D(0,6)、E(2,0)、F(6,2)。设P在AF上且AP/AF=t，则P=(6t,2t)。又P在DE上，直线DE可表示为y=6−3x，代入得2t=6−18t，所以t=3/10。因此AP/AF=3/10，PF/AF=7/10，故AP∶PF=3∶7。复核：0