第一章 《特殊平行四边形》能力卷-北师大版数学九上单元测试卷（含解析）

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第一章 《特殊平行四边形》能力卷-北师大版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1． 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG，点E在BC的延长线上.若CE=2BC，则tan∠AFC 的值为(　　)A．2B．12C．55D．2552．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作 S1,正方形ABCD的面积记作 S3,则 S1,S2与S3的关系是(　　)A．S1+S2S3D．2S1+S2=S33． 如图， 在矩形ABCD中， E， F是BC边上的三等分点， 连接DE， AF相交于点G， 连接CG. 若AB=8， BC=12， 则tan∠GCF的值是（　　）A．1010B．13C．31010D．234． 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠ABC=90°，AB = 4，BC = 3，AD = 1，点 E为边 AB 上的动点.将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到线段 DF，连接 FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　）A．EC - ED 的最大值是 25B．FB 的最小值是 10C．EC + ED 的最小值是 42D．FC 的最大值是 135．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（　　）A．15B．5+55C．10+52D．186．“弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大的正方形，汉末数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理.如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M、交GH于点N．若AH =GH，则以下说法正确的有（　　）个．①△AEF≌△CGD. ②AN = NF ③FM = MC =54④HN = NG = 52A．1B．2C．3D．47．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE、DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE=DF，②CE⊥DF，③∠AGE=∠CDF，④∠EAG=30°，正确的有几项（　　）A．1B．2C．3D．48．如图，在Rt△BDF中，∠BDF=90°，∠F=30°，DC是BF边上的中线，把线段CD沿着CB方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接AD，AC，AC与BD相交与点O，则下列结论：①四边形ABCD为菱形；②OC=12DF；③BF=4OD；④△DCF的面积为四边形ABCD面积的一半．其中正确结论的个数为（　　）A．4B．3C．2D．19．如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一点，AP的垂直平分线交AB于点M，交AD的延长线于点N，连结PN交CD于点Q，连接AQ．给出下面四个结论：①NA=NP；②PA平分∠BPN；③BP+DQ=PQ；④若P是BC中点，则Q也是CD中点．上述结论中，正确结论的序号有（ ）A．①②③④B．①②C．①②③D．①②④10．如图，在矩形ABCD中，AD=6cm，∠DBC=30°，动点M、N分别在BD、BC上，则MN+MC的最小值是（　　）cmA．23B．33C．6D．3二、填空题（每题3分，共18分）11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2.AD＝4，AC是它的一条对角线.以点B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点A和点E为圆心，大于12AE长为半径，在直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点N，则BN的长为　 　.12． 如图， 菱形ABCD的边长为10， 对角线BD =16， P， Q为BD上两个动点， 且PQ=2，则AP +AQ 的最小值为　 　.13．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线，分别交BC，AD于点M，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，分别连接DF，BE，有如下结论：①OA=OC，OB=OD；②四边形BEDF是菱形；③若FA=FN=1，AB=3，则OD=39；④若FA=1，AB=3，∠ABE=60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是21.上述结论中，所有正确结论的序号是　 　.14．如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF=2,∠ABD=30°，则HG的长为　 　．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC=60∘，AB=2，E为BC上一点，连接OE，DE，则OE+DE的最小值等于　 　．16．如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD=∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为22．其中正确的有　 　．三、解答题（共7题，共72分）17．如图，在▱ABCD中，O是CD的中点.分别延长AO，BC交于点E，连接AC，DE.（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）若BE=8，∠BAE=90°，求四边形ACED的周长.18．如图，在▵ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC，点E是线段AD的中点，过点A作AF//BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△DEC≌△AEF；（2）判断四边形ADBF的形状并说明理由．19．已知：在正方形ABCD的内侧作等边三角形CDF，连接AF，BF.（1）如图①，求证△ADF≅△BCF;（2）如图②，过点C作CE⊥CF，交AF的延长线于点E，CM平分∠BCE，交AE于点M，连接BM，AE交BC于点N，连接BD交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段BF相等的线段(线段AF，BF除外)。20．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC(不与点B，点C重合)上的一点， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点 F.（1）如图1，求证： AE=EF； （2）如图2， M， E分别为AB， BC的中点，连接DM和AE相交于点G，连接ME，DF.试判断四边形 DMEF的形状，并说明理由；（3）若点M是边AB(不与点A，点B重合)上的一点，直接写出BM，BE，CD三边满足什么数量关系时，四边形 DMEF是平行四边形.21．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，在AE上截取AM=BE，延长AD到点F，使AF=AE，连结FM，FE．（1）求证：△ABE≌△FMA．（2）若AB=4，BE=3，求EF的长．22．如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB＝DF．（1）求证：AG⊥AF；（2）试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（3）如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF，垂足为H．求MH的最小值．23．在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．（1）【初步尝试】如图1，在△ABC中，AB=AC，过点B作BQ∥AC，BQ=2，连接AQ．点P在线段AB上，满足∠BPC=∠CAQ，求AP的长．（2）【类比探究】如图2，在△ABC中，AB=AC，以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P，Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点），AP=BQ．当∠BPC=∠BCD时，用等式表示出CD和QE的数量关系，并说明理由．（3）【拓展迁移】如图3，在矩形AEBD中，P，Q分别是线段AB，BE上的动点（不含端点），AP=BQ．当∠EAQ=12∠DAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：连接AC，如图：设BC=a，∵四边形ABCD和CEFG是正方形，CE=2BC，∴AB=BC=CD=DA=a，CE=EF=FG=GC=2a，∠B=∠E=90°，∴AC=AB2+BC2=2a，CF=CE2+EF2=22a，∵AC、CF分别是正方形ABCD、CEFG的对角线，∴∠ACD=45°，∠GCF=45°，∴∠ACF=∠ACD+∠GCF=45°+45°=90°，∴在Rt△ACF中，tan∠AFC=ACCF=2a22a=12．故答案为： B.【分析】设正方形ABCD的边长为a，即可得到CE=2a，根据正方形性质得到AC、CF的长及∠ACF=90°，然后根据正切的定义解答即可．2．【答案】B【解析】【解答】解：如图，根据题意可知，∠AED=∠DFC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∵∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，∴∠ADE=∠DCF，在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF∠AED=∠DFCAD=CD，∴△ADE≌△DCF(AAS)，∴DE=CF，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，∵S1=AE2，S2=CF2=DE2，S3=AD2，∴S1+S2=S3．故答案为：B.【分析】根据正方形的定义，利用AAS得到△ADE≌△DCF，根据对应边相等得到DE=CF，然后根据勾股定理得到结论即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建系，得各点坐标：B(0，0)，C(12，0)，A(0，8)，D(12，8)，E(4，0)，F(8，0)直线AF：代入A(0，8)、F(8，0)，得y = -x + 8直线DE：代入D(12，8)、E(4，0)，得y = x - 4联立两方程式得G（6，2）过G作GH⊥BC于H，GH = 2，CH = 6，由tan∠GCF = GHCH，得tan∠GCF=13.故答案为：B.【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标求出直线解析式，进而得到点G坐标，最后根据三角函数的定义求解tan∠GCF的值。4．【答案】A【解析】【解答】解：A、∵ 点 E为边 AB 上的动点.将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到线段 DF，∴DE=DF，∠EDF=90°，过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取点H，使DH=AD=1，延长FH交AB于点I，∴四边形ABGD是矩形，易证△DHF≌△DAE（SAS）∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，∵∠A=∠ABC=90°，∴四边形DAIH，四边形BGHI，四边形ADGB是矩形，∴AD=BG=IH=1，∴DG=AB=4，∴CG=BC-GB=3-1=2；∴DE=DF=AD2+AB−BE2=1+4−BE2，CE=BE2+BC2=BE2+9∴EC−ED=BE2+9−1+4−BE2，∴当BE最大时，EC-ED的值最大，∴当点E和点A重合时，点F和点H重合时，BF最小，此时EC=42+32=5，∴DE=1，∴EC-ED=5-1=4，故A符合题意；B、BF=HI2+BI2=12+32=10，故B不符合题意；C、作点D关于AB的对称点M，连接MC，∴ED=EM，AD=AM=1，∠BAM=∠BAD=90°，过点M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，∴当点C、E、M三点共线时，EC+ED的值最小，即就是MC的长；易证四边形AMNB是矩形，∴BN=AM=1，CN=3+1=4，AB=MN=4，∴CE+ED的最小值就是GH2+CG2=42+42=42故C不符合题意；D、当点E和点A重合时，CF=GH2+CG2=3−12+4−12=13，当点E和点B重合时，过点C作CQ⊥FH于点Q，易证四边形CQIB是矩形，∴CQ=IB=4-1=3，QI=BC=3，∴△DHF≌.△DAE，∴∴FH=AE=4，∴QF=FH+HI-QI=4+1-3=2，∴FC=CQ2+FQ2=22+32=13综上所述，FC的最大值为13，故D不符合题意；故答案为： A.【分析】利用旋转的性质可证得DE=DF，∠EDF=90°，过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取点H，使DH=AD=1，延长FH交AB于点I，可证得四边形ABGD是矩形，利用SAS可证得△DHF≌△DAE，可证得FH⊥DG，即点F在FH上运动；再证明四边形DAIH，四边形BGHI，四边形ADGB是矩形，可求出BG、HI、DG、CG的长，利用勾股定理可表示出DE，CE的长，然后可表示出EC-ED的长，当BE最大时，EC-ED的值最大，当点E和点A重合时，点F和点H重合时，BF最小，利用勾股定理求出EC的长，即可求出EC-ED的长及BF的长，可对A、B作出判断；作点D关于AB的对称点M，连接MC，可知ED=EM，AD=AM=1，∠BAM=∠BAD=90°，过点M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，由此可知当点C、E、M三点共线时，EC+ED的值最小，即就是MC的长；易证四边形AMNB是矩形，利用矩形的性质可得到BN、CN、MN的长，利用勾股定理可得到CE+ED的最小值，可对C作出判断；当点E和点A重合时，利用勾股定理求出CF的长；当点E和点B重合时，过点C作CQ⊥FH于点Q，可得到CQ、QI的长，利用全等三角形的性质可得到FH的长，即可求出QF的长，然后利用勾股定理求出FC的长，综上所述，可得到FC的最大值，可对D作出判断.5．【答案】B【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G， ∵四边形ABCD是矩形，∴АВ∥СD，∴AB∥EF∥CD，∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，∴ ∠A=∠MGN=90°，由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'，∴△AMN≌△GMN'（AAS），∴MG=AM，∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'， ∵ВМ=12АВ=5， MM'=5 +5=10，∴ВМ + ВМ' =5+52+102=5+55.故答案为：B.【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可. 6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得：DG=AH，GH=EF，∠FGN=∠FGD=∠AEF=∠AHN=90°，AE=CG；∵DH=GH+DG，AH=GH，∴DH=2DG，即点G是DH的中点，∴EF=GH=GD，∵∠AEF=∠CGD=90°，AE=CG，∴△AEF≌△CGD(SAS)，故①正确；∵AH=GH=FG，又∵∠ANH=∠FNG，∠FGN=∠AHN=90°，∴△AHN≌△FGN(AAS)，∴AN=NF，故②正确；∵△AHN≌△FGN，△AEF≌△CGD∴∠HAN=∠GFN，∠HAN=∠FCM，AF=CD=5，∵∠GFN=∠CFM，∴∠FCM=∠CFM，∴FM=MC；设MC=FM=x，则DM=CD−MC=5−x，AM=AF+FM=5+x，在Rt△ADM中，由勾股定理得AD2+DM2=AM2，即52+(5−x)2=(5+x)2，解得：x=54即MC=FM=54，故③正确；∵△AHN≌△FGN，∴HN=NG，∴DH=2GH=4HN，AH=2HN，在Rt△ADH中，由勾股定理得：AH2+DH2=AD2，即4HN2+16HN2=52，解得：HN=52，故④正确．综上，四个全部正确．故答案为：D .【分析】根据正方形的性质，利用SAS得到△AEF≌△CGD，判断①；再根据AAS得到△AHN≌△FGN判断②；根据全等三角形的性质得到∠FCM=∠CFM，根据等角对等边得到FM=MC，在Rt△ADM中根据勾股定理可求得MC的长判断③；根据全等三角形的性质得到HN=NG，即可得到DH=4HN，AH=2HN，在Rt△ADH中利用勾股定理求出HN的值判断④解答即可．7．【答案】C【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠BCD=90°,AB=BC=CD=AD，∴E、F分别是AB、BC的中点，∴BE=12AB=CF=12BC，∴△BCE≌△CDFSAS，∴CE=DF，∴①正确，符合题意；②∵△BCE≌△CDFSAS，∴∠BCE=∠CDF，∵∠CDF+∠DFC=90°，∴∠BCE+∠DFC=90°，∴∠CGF=90°，即CE⊥DF，∴②正确，符合题意；③如图所示，延长CE和DA，相交于点H，∵E是AB的中点，∴AE=BE，又∵∠HAE=∠B=90°，∠AEH=∠BEC，∴△AEH≌△BECASA，∴AH=BC=AD，又∵CE⊥DF，∴∠DGH=90°，∴AG=AH=AD，∴∠H=∠AGE，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠H=∠BCE，∴∠AGE=∠BCE=∠CDF，∴③正确，符合题意；④假设∠EAG=30°，由③得AG=AH=AD，∴∠H=30°，∴HE=2AE=AB=BC，∵△AEH≌△BEC，∴HE=CE，∴CE=BC，显然CE≠BC，矛盾，∴假设∠EAG=30°错误，∴④不符合题意；综上，正确选项为①②③，故选：C．【分析】①借助正方形的性质，即可证明△BCE≌△CDF；②根据△BCE≌△CDF的对应角相等得到角的关系，再通过等量代换推导出所需结论；③延长CE与DA，交于点H，先证明△AEH≌△BEC，再结合直角三角形斜边中线的性质推导结论；④通过反证法完成该结论的证明.8．【答案】A【解析】【解答】解：∵在Rt△BDF，DC是BF边上的中线，∠F=30°，∴DC=BC=CF=BD，由平移可得，CD=AB，CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形，∵DC=BC，∴四边形ABCD为菱形，①正确，故符合要求；∵四边形ABCD为菱形，∴O为BD中点，又∵C是BF的中点，∴OC为△BDF的中位线，∴OC=12DF，②正确，故符合要求；∵四边形ABCD为菱形，∴DO=12BD=14BF，∴BF=4OD，③正确，故符合要求；∵CD是△BDF的中线，∴S△DCF=S△BCD，由菱形的性质可得S△BCD=12S四边形ABCD，∴S△DCF=12S四边形ABCD，④正确，故符合要求；综上，正确的结论个数为4，故选：A．【分析】本题以直角三角形与平移变换为背景，考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质及面积关系。①由直角三角形斜边中线及平移得DC＝BC、CD∥AB且CD＝AB，证四边形ABCD为菱形；②利用菱形对角线互相平分及中位线定理得OC与DF的关系；③由菱形边长与BF的关系推出BF与OD的关系；④利用三角形中线与菱形面积关系判断面积是否正确。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AP，∴NA=NP，故结论①正确；∴∠NAP=∠NPA，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=AD，∴∠NAP=∠BPA，∴∠NPA=∠BPA，∴PA平分∠BPN，故结论②正确；如图，过点A作AE⊥PN于点E，∵PA平分∠BPN，AB⊥BC，∴AB=AE，∴AD=AE，在Rt△ABP和Rt△AEP中，AP=APAB=AE，∴Rt△ABP≌Rt△AEPHL，∴BP=EP，在Rt△ADQ和Rt△AEQ中，AQ=AQAD=AE，∴Rt△ADQ≌Rt△AEQHL，∴DQ=EQ，∴BP+DQ=EP+EQ=PQ，故结论③正确；∵点P是BC的中点，∴PC=PB=12BC=12CD，假设点Q是CD的中点，则DQ=CQ=12CD，∴BP+DQ=PC+CQ=CD，∵BP+DQ=PQ，∴PC+CQ=PQ，与在△PCQ中，PC+CQ>PQ相矛盾，故假设不成立，即此时点Q不是CD的中点，故结论④错误；综上所述，结论①②③正确．故答案为：C．【分析】根据线段垂直平分线的性质得NA=NP，判断①正确；由NA=NP，等边对等角得∠NAP=∠NPA ，根据平行线的性质 得∠NAP=∠BPA，等角代换得∠NPA=∠BPA 判断②正确；如图，过点A作AE⊥PN于点E，根据角平分线的性质得AB=AE，Rt△ABP≌Rt△AEPHL，得BP=EP，Rt△ADQ≌Rt△AEQHL，得DQ=EQ，判断③正确；假设Q是CD的中点，此时DQ=CQ=12CD，可得PC+CQ=PQ，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④错误．10．【答案】B【解析】【解答】解：如图，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN=EN最小．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，AD=BC=6cm，∵∠DBC=30°，∴CD=12BD，又CD2+BC2=BD2，即CD2+62=2CD2，∴CD=23cm，BD=43cm，∵CE⊥BD，∴12BD⋅CF=12BC⋅CD，∴CF=BC⋅CDBD=3cm，由对称得，CE=2CF=6cm，CE⊥BD，∵∠DBC=30°，∴∠BCF=60°，∵EN⊥BC，∴∠E=30°，∴CN=12CE=3cm，EN=3CN=33cm，即：CM+MN的最小值为33cm．故选：B．【分析】首先根据轴对称的性质确定出点M、点N的位置，接着通过图形面积计算得到CF的长度，在此基础上推导出CE的长度，最后利用含30°角的直角三角形的边角性质，即可计算得到CM+MN的最小值.11．【答案】455【解析】【解答】解：连接BE、AM、EM，由作图痕迹可知：BA=BE，MA=ME，因此直线BM是线段AE的垂直平分线，即BN⊥CA。∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=4，∠CBA=90∘。在Rt△CBA中，由勾股定理得：CA=AB2+BC2=22+42=25△CBA的面积可通过两组底和高计算：S△CBA=12⋅AB⋅BC=12⋅CA⋅BN。代入数值：12×2×4=12×25×BN，解得：BN=455。故答案为：455【分析】本题考查矩形的性质、尺规作图的垂直平分线性质、勾股定理与等面积法的综合应用。解题时先根据尺规作图的特征判断BM垂直平分AE，得到BN⊥AC的结论；再利用矩形对边相等的性质得到BC的长度，由勾股定理求出对角线AC的长；最后通过直角三角形面积的两种表示方法建立等式，代入数值计算即可求出BN的长度。12．【答案】237【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=12BD=8，OA=OC（菱形对角线互相垂直平分）。在RtΔAOB中，AB=10，OB=8，由勾股定理得：OA=AB2−OB2=102−82=6，∴AC=2OA=12。∵点A关于BD的对称点为点C，∴AP=CP，∴AP+AQ=CP+AQ。将点C沿BD方向平移2个单位得到点C'，连接C'Q、AC'，∵CC'∥PQ且CC'=PQ=2，∴四边形CC'QP为平行四边形，∴CP=C'Q，∴AP+AQ=C'Q+AQ。当A、Q、C'三点共线时，C'Q+AQ取得最小值，最小值为线段AC'的长度。∵CC'∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥CC'，即∠ACC'=90°。在RtΔACC'中，AC=12，CC'=2，由勾股定理得：AC'=AC2+CC'2=122+22=148=237故答案为：237【分析】本题考查菱形性质与轴对称最短路径问题的综合应用。先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度；再利用菱形的轴对称性，将AP转化为CP，通过平移构造平行四边形，将CP进一步转化为C'Q，把两条线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题；最后在直角三角形中用勾股定理计算出最短路径的长度。13．【答案】①②④【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD，①正确∵EF⊥BD，OB=OD∴EF是BD的垂直平分线∴EB=ED，FB=FD，∠FOB=∠EOD=90°∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠FBO=∠EDO在△FBO和△EDO中∠FOB=∠EOD=90°OB=OD∠FBO=∠EDO∴△FBO≌△EDO(ASA)∴FB=ED∴EB=ED=FB=FD∴四边形BEDF是菱形，②正确∵FA=FN=1，AB=3∴FB=FA+AB=4，∠FNA=∠FMB，∠OAN=∠OCM∴∠FBM=∠FMB∴FM=FN=4在△OAN和△OCM中∠OAN=∠OCMOA=OC∠AON=∠COM∴△OAN≌△OCM(ASA)∴OM=ON∴MN=2ON∴FM=FN+MN=1+ON=4∴ON=32∴OF=FN+ON=52在Rt△OBF中，OB=FB2−OF2=392∴OD=OB=392，③错误过点A作AH⊥BD与点H，连接PD∴△ABH和△ADH都是直角三角形∵FA=1，AB=3∴FB=FA+AB=4∵四边形BEDF是菱形∴EB=ED=FB=FD=4∵∠ABE=60°∴△BEF是等边三角形∴FE=FB=4，∠FBO=12∠ABE=30°∴OE=OF=12EF=2在Rt△OBF中，OB=FB2−OF2=23∴OD=OB=23∴BD=OD+OB=43在Rt△ABH中，∠FBO=30°∴AH=12AB=32∴BH=AB2−AH2=332∴DH=BD−BH=532在Rt△ADH中，AD=AH2+DH2=21∵EF是BD的垂直平分线∴PB=PD∴PA+PB=PA+PD∴当PA+PD为最小时，PA+PB为最小∵PA+PA≥AD=21∴PA+PB的最小值为21，④正确综上所述，正确的结论为①②④故答案为：①②④【分析】根据平行四边形性质可判断①；根据垂直平分线判定定理可得EF是BD的垂直平分线，则EB=ED，FB=FD，∠FOB=∠EOD=90°，根据平行四边形性质可得AB∥CD，则∠FBO=∠EDO，根据全等三角形判定定理可得△OAN≌△OCM(ASA)，则FB=ED，根据菱形判定定理可判断②；根据边之间的关系可判断FB，再根据角之间的关系可得∠FBM=∠FMB，根据等角对等边可得FM=FN=4，再根据全等三角形判定定理可得△OAN≌△OCM(ASA)，则OM=ON，根据边之间的关系可得OF，再根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系可判断③；过点A作AH⊥BD与点H，连接PD，根据直角三角形判定定理可得△ABH和△ADH都是直角三角形，根据边之间的关系可得FB，根据菱形性质可得EB=ED=FB=FD=4，再根据等边三角形判定定理可得△BEF是等边三角形，则FE=FB=4，∠FBO=12∠ABE=30°，OE=OF=12EF=2，根据勾股定理可得OB，则OD=OB=23，根据边之间的关系可得BD，再根据含30°角的直角三角形性质可得AH，再根据勾股定理可得BH，根据边之间的关系可得DH，再根据勾股定理可得AD，根据垂直平分线性质可得PB=PD，则PA+PB=PA+PD，当PA+PD为最小时，PA+PB为最小，根据边之间的关系可得PA+PA≥AD=21，可判断④.14．【答案】233【解析】【解答】已知CF=2，BE=2CF，∴BE=4.过H作HN∥AB，交AD于N.∵H为DE中点，∴HN是△ADE的中位线，∴HN=12AE，DN=AN.∵HN∥DC，可证△HNM≌△FDM(AAS)，∴HN=DF.设矩形AD=y，在Rt△ABD中，∠ABD=30∘，∴BD=2y，AB=3y.AE=AB−BE=3y−4，DF=DC−CF=AB−CF=3y−2.∵HN=12AE=DF，列方程：12(3y−4)=3y−2；32y−2 =3y−2；y=23.∴AD=23，AB=3×23=6.AE=6−4=2，DF=6−2=4.以D为原点，DC为x轴，DA为y轴：D(0，0)，A(0，23)，B(6，23)，C(6，0)，E在AB上：E(2，23)，F在DC上：F(4，0).H是DE中点，由中点坐标公式：H0+22，0+232，即H(1，3).① 直线FM经过H(1，3)、F(4，0)，设解析式y=k1x+b1，代入两点：k1+b1=34k1+b1=0，解得：k1=−33，b1=433，∴直线FM：y=−33x+433，② 直线BD经过D(0，0)、B(6，23)，斜率k2=33，解析式：y=33x.联立y=33y=−33x+433，解得：x=2，y=233，得G（2，233）.两点距离公式：d=(x2−x1)2+(y2−y1)2，H(1，3)，G（2，233），∴HG=2−12+233−32=233.故答案为：233【分析】先根据CF的长度，求出BE，再利用 “H是DE中点、M、H、F三点共线”，构造全等三角形，结合矩形性质，解含30∘的直角三角形，求出矩形AB、AD边长；建立平面直角坐标系，写出D、E、F、H的坐标，求出直线FM、直线BD的函数解析式；联立两个一次函数解析式，求得交点G的坐标；利用两点间距离公式，计算HG的长度.15．【答案】3【解析】【解答】四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，对角线互相平分，O是AC中点。∵∠ABC=60∘，AB=BC，∴△ABC是等边三角形。∴AC=AB=2，OC=12AC=1。菱形中AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=60∘，△ACD也为等边三角形。作点O关于直线BC的对称点M，连接ME、DM。由轴对称性质：直线BC上任意一点E都满足OE=ME，∴DE+OE=DE+ME。根据两点之间线段最短：当D、E、M三点共线时，DE+ME取得最小值，最小值为线段DM。M是O关于BC的对称点，∴CM=OC=1。点C在D、M之间，D−C−M共线： DM=DC+CM=2+1=3.因此DE+OE的最小值为3。故答案为：3.【分析】由菱形性质 +∠ABC=60∘，判定△ABC、△ACD为等边三角形，求出线段OC=1；本题是将军饮马最值模型：动点E在定直线BC上，求定点D、O到E的距离和DE+OE最小值；作定点O关于直线BC的对称点M，由轴对称性质得OE=ME，转化DE+OE=DE+ME；根据 “两点之间线段最短”，D、E、M三点共线时，DE+ME最小值为线段DM；结合菱形、等边三角形边长，计算DM长度得到答案.16．【答案】①②③④【解析】【解答】解：①∵正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，∴∠C=90°，∠CBG=∠CDG=∠ADG=45°，AD=DC，∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠GED=∠GFC=∠GFB=90°，∴四边形CEGF是矩形，∴∠EGD=∠EDG=45°，∠FGB=∠CBG=45°，∴DG=2GE，BG=2GF，∵G为BD的中点，∴DG=BG，∴GE=GF，∴四边形CEGF是正方形，故①正确；②如下图，四边形CEGF是矩形，连接CG，CG=EF，在△ADG与△ADG中，AD=CD∠ADG=∠CDG=45°DG=DG，∴△ADG≌△CDGSAS，∴∠DAG=∠DCG，∵四边形CEGF是矩形，∴GE=GF，CG=EF，在△EFG与△GCE中，FG=CEEF=GCEG=GE，∴△EFG≌△GCESSS，∴∠EFG=∠ECG，∴∠EFG=∠GAD，故②正确；③∵∠EGD=∠EDG=45°，∴GE=ED，∵四边形CEGF是矩形，∴GF=CE，∴GE+GF=ED+CE=CD=1，故③正确；④∵EF=GC，∴GC最小时，EF最小，∴当GC⊥BD时，GC最小，在Rt△BCD中，BD=2CD=2，∵S△BCD=12BD⋅CG=12BC⋅CD，∴12×2×CG=12×1×1，∴CG=22，故④正确．故答案为：①②③④.【分析】由垂直条件先判定CEGF为矩形；G为BD中点时结合45∘等腰直角三角形推出邻边相等，判定正方形，验证①；利用正方形对称轴证明△ADG≅△CDG，矩形对角线相等结合 SSS 全等转化角，等量代换证明角度相等，验证②；由45∘直角三角形得GE=DE，矩形对边相等GF=CE，线段相加等于边长CD=1，证明定值，验证③；由矩形对角线相等将EF最小值转化为CG最小值，依据垂线段最短，结合三角形面积等积法求出最短垂线段长度，验证④.17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， 即AD∥CE，∴△AO=∠ CEO，∠ ADO =∠ ECO，∵0 是CD 的中点，∴DO = CO，在△AOD 与△EOC中，∠DAO=∠CEO∠ADO=∠ECODO=CO,∴AOD≌△EOC(AAS)，∴AD=CE ，又∵AD∥CE ，∴四边形ACED是平行四边形（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，由(1) 得AD=CE，∴BC= CE， 即C为BE 的中点，∴BE=8， ∠BAE=90°，∴CE=12BE=4,AC=12BE=4,∵四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 的周长=2(AD+AC)=2×(4+4)=16.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用AAS得到AOD≌△EOC，即可得到AD=CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=CE，再根据直角三角形斜边中线的性质求出CE和AC长，计算平行四边形ACED的周长即可.18．【答案】（1）证明：∵AF//BC，∴∠EAF=∠EDC,∠EFA=∠ECD，∵点E是线段AD的中点，∴AE=DE；在▵AEF和▵DEC中，∠EAF=∠EDC∠EFA=∠ECDAE=DE,∴▵DEC≌▵AEFAAS（2）解：四边形ADBF是矩形，理由如下：∵在▵ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC，∴AD⊥BC,CD=BD，∴∠ADB=90∘；由(1)得△DEC≌△AEF，∴AF=CD，∴AF=BD，∵AF//BC，即AF//BD，∴四边形ADBF是平行四边形，又∵∠ADB=90∘，∴平行四边形ADBF是矩形【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到∠EAF=∠EDC，∠EFA=∠ECD，由线段中点的定义可得AE=DE ，然后根据AAS得到两三角形全等即可；（2）根据三线合一定理得到AD⊥BC，CD=BD，即可得到∠ADB=90° ，根据全等三角形的对应边相等得到AF=BD ，即可得到结论．19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ABC=∠BCD=90°.∵△CDF是等边三角形，∴DF=CF，∠FDC=∠FCD=60°.∴∠ADF=∠BCF=30.∴△ADF≌△BCF.（2）BM，EM，BG，FN.【解析】【解答】解：（2）与线段BF相等的线段有BM，EM，BG，FN，理由如下：∵△CDF为等边三角形∴∠FCD=60°=∠DFC=∠FDC，CF=CD=CB=DF=DA∴∠ADF=∠BCF=90°-60°=30°∴∠DAF=∠DFA=∠CFB=∠CBF=180°−30°2=75°∴∠CFE=180°-∠AFD-∠DFC=45°，∠FAB=∠FBA=90°-75°=15°∴∠ANB=90°-15°=75°=∠CNM=∠CBF，∠MFB=15°+15°=30°∴BF=FN∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线∴∠CDB=45°∴∠CGD=∠FGB=180°-45°-60°=75°=∠GFB∴BG=BF∵CE⊥CF，∠FCE=90°∴∠BCE=∠FCE-∠BCF=90°-30°=60°，∠E=180°-∠FCE-∠CFE=45°=∠CFE∴CF=CE∵CM平分∠BCE∴∠BCM=∠ECM=30°∴∠CMN=180°-75°-30°=75°∵CM=CM∴△BCM≌△ECM(SAS)∴BM=EM，∠CMB=∠CME=180°-45°-30°=105°∴∠BMF=105°-75°=30°=∠BFM∴BF=BM∴BF=BM=BG=FN=EM【分析】（1）根据正方形性质可得AD=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据等边三角形性质可得DF=CF，∠FDC=∠FCD=60°，则∠ADF=∠BCF=30，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.（2）根据等边三角形性质可得∠FCD=60°=∠DFC=∠FDC，CF=CD=CB=DF=DA，根据角之间的关系可得∠ADF=∠BCF=30°，再根据等角对等边及三角形内角和定理可得∠DAF=∠DFA=∠CFB=∠CBF=75°，根据三角形内角和定理可得∠CFE=45°，∠FAB=15°，根据角之间的关系可得∠ANB=∠CNM=∠CBF，∠MFB=30°，则BF=FN，根据正方形性质可得∠CDB=45°，根据三角形内角和定理可得∠CGD=∠FGB=∠GFB，则BG=BF，再根据角之间的关系可得∠BCE，再根据三角形内角和定理可得∠E=∠CFE，则CF=CE，根据角平分线定义可得∠BCM=∠ECM=30°，再根据三角形内角和定理可得∠CMN，根据全等三角形判定定理可得△BCM≌△ECM(SAS)，则BM=EM，∠CMB=∠CME=105°，根据角之间的关系可得∠BMF=∠BFM，则BF=BM，即可求出答案.20．【答案】（1）证明：在AB上截取AH=EC∵四边形ABCD 是正方形∴AB=BC， ∠B=∠BCD=90°，∵AH=EC∴AB-AH=BC-EC即 HB=EB∴△BHE 是等腰直角三角形∴∠BHE=45°∴∠AHE=135°∵CF是正方形ABCD的外角平分线∴∠DCF=45°∴∠ECF=135°∴∠AHE=∠ECF∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠FEC=90°∵∠BAE+∠AEB=90°∴∠BAE=∠FEC在△AHE 和△ECF中∵{∠AHE=∠ECFAH=EC∠HAE=∠CEF∴△AHE≌△ECF(ASA)∴AE=EF（2）四边形 DMEF 是平行四边形理由如下∵四边形ABCD 是正方形∴AD=AB=BC， ∠DAB=∠B=90°∵M， E分别为AB， BC的中点∴AM=BE在△DAM和△ABE中∵{AD=AB∠DAB=∠BAM=BE∴△DAM≌△ABE(SAS)∴∠ADM=∠BAE， DM=AE∵∠BAE+∠DAE=90°∴∠ADM+∠DAE=90°∴∠AGD=90°∵∠AEF=90°∴∠AGD=∠AEF∴MD∥EF由(1)得 AE=EF∴MD=EF∴四边形DMEF是平行四边形（3）BM+BE=CD【解析】【解答】解：（3）结论：BM+BE=CD理由：∵正方形ABCD，∴AB=CD=AD，∠MAD=∠B=90°，∵AM+BM=AB，BM+BE=CD=AB，∴AM=BE，在△DAM和△ABE中∵{AD=AB∠MAD=∠BAM=BE∴△DAM≌△ABE(SAS)∴∠ADM=∠BAE， DM=AE，∵AE=EF，∴MD=EF，同理可证得MD∥EF，∴四边形DMEF是平行四边形∴ BM，BE，CD三边满足BM+BE=CD时，四边形 DMEF是平行四边形.【分析】（1）在AB上截取AH=EC，利用正方形的性质及已知条件可推出HB=BE，可证得△BHE是等腰直角三角形，利用角平分线的定义可推出∠AHE=∠ECF，利用余角的性质可证得∠BAE=∠FEC；再利用ASA可证得△AHE≌△ECF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.（2）利用正方形的性质可证得AD=AB=BC， ∠DAB=∠B=90°，可推出AM=BE，利用SAS可证△DAM≌△ABE，由此可证得∠ADM=∠BAE， DM=AE，结合（1）可推出MD=EF；再证明∠AGD=90°，利用平行线的判定定理可证得MD∥EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.（3）利用正方形的性质可推出AB=CD=AD，∠MAD=∠B=90°，AM=BE，利用SAS可证得△DAM≌△ABE，利用全等三角形的性质可推出MD=EF，同理可证MD∥EF，据此可证得结论.21．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∴∠AEB=∠FAM，在△ABE和△FMA中，AE=AF∠AEB=∠FAMBE=AM∴△ABE≌△FMA（SAS）．（2）解：∵∠B=90°，AB=4，BE=3，∴AE=42+32=5，∵△ABE≌△FMA，∴FM=AB=4，∠AMF=∠B=90°，∴∠FME=90°，∵AM=BE=3，∴ME=5−3=2，∴EF=EM2+FM2=22+42=25．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用SAS得到两三角形全等即可；（2）利用勾股定理求出AE，然后根据全等三角形的性质得到FM=AB=4，在Rt△EFM中利用勾股定理解答即可.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD时是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∴∠ABG＝∠ADF＝90°，在△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADFGB=DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，∴∠BAD＝∠DAF+∠BAF＝∠BAG+∠BAF＝∠GAF＝90°，∴AG⊥AF；（2）解：由（1）知△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∵△CEF的周长为4，CD+CB＝2+2＝4，∴CE+EF+CF＝CB+CD＝CF+DF+CE+BE，∴EF＝DF+BE＝BG+BE＝EG，在△AGE和△AFE中，AG=AFAE=AEGE=FE，∴△AGE≌△AFE（SSS），∴∠EAF=∠EAG=12GAF=45°，∴∠EAF的大小为定值45°；（3）解：设BE＝x，DF＝y，则EF＝EG＝x+y，∵正方形边长为2，∴CE＝CB-BE2-x，CF＝CD-DF＝2-y，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即（2-x）2+（2-y）2＝（x+y）2，整理得xy＝4-（x+y），∵AH⊥EF，∴S△AEF=12AH•（x+y），又∵S△AEF＝S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF＝4-x-y-2+（x+y）-12xy＝4-x-y-2+（x+y）-2+12（x+y）=12（x+y），∴12AH•（x+y）=12（x+y），∴AH＝2，∵M为BC中点，∴BM=12BC=1，∴AM=AB2+BM2=5，∵MH≥AM-AH，当且仅当A、H、M三点共线时取等，∴MH≥5−2，即MH最小值为5−2．【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定定理—SAS易证△ABG≌△ADF，可得∠BAG＝∠DAF，进而可得结论；（2）由△CEF的周长为4和正方形ABCD的边长为2可得EF＝EG，再根据三角形全等的判定定理—SSS可证△AGE≌△AFE，进而即可得出结论；（3）设BE＝x，DF＝y，则EF＝EG＝x+y，在Rt△CEF中利用勾股定理可得xy＝4-（x+y），再利用等面积可得AH=2，最后利用三角形的三边关系即可得出答案.23．【答案】（1）解：∵BQ∥AC∴∠PAC=∠QBA∵∠BPC=∠CAQ∴∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠QAB∴∠PCA=∠QAB∵∠PAC=∠QBA，AC=BA，∠PCA=∠QAB∴△PAC≌△QBA(ASA)∴AP=BQ=2（2）解：CD=QE，理由如下：如图1，连接AQ．∵四边形AEBD为矩形，∴BE∥AD，∴∠PAC=∠QBA∵AC=BA，∠PAC=∠QBA，AP=BQ，∴△PAC≌△QBASAS，∴∠CPA=∠AQB，∴180°−∠CPA=180°−∠AQB，即∠BPC=∠AQE．∵∠BPC=∠BCD，∴∠BCD=∠AQE，∵四边形AEBD为矩形，∴BD=AE，∠BDC=∠BDA=∠AEQ=90°，∴△BDC≌△AEQAAS，∴CD=QE．（3）解：BP=2QE，理由如下：如图2，延长AD至点F，使得AF=AB，连接BF，PF．∵AF=AB，∴∠DFB=∠ABF=12180°−∠DAP=90°−12∠DAP．∵∠EAQ=12∠DAP，∴∠DFB=90°−∠EAQ=∠EQA．由（2）同理可得，△DFB≌△EQAAAS，∴FD=QE．∵AB=AF，∴AP+BP=AD+FD，∴AP+BP=AD+QE．∵四边形AEBD为矩形，∴AD=BE，∴AP+BP=BE+QE，∴AP+BP=BQ+2QE．∵AP=BQ，∴BP=2QE．【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠PAC=∠QBA，根据角之间的关系可得∠PCA=∠QAB，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.（2）连接AQ，根据矩形性质可得BE∥AD，则∠PAC=∠QBA，根据全等三角形判定定理可得△PAC≌△QBASAS，则∠CPA=∠AQB，根据角之间的关系可得∠BPC=∠AQE，再根据矩形性质可得BD=AE，∠BDC=∠BDA=∠AEQ=90°，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.（3）延长AD至点F，使得AF=AB，连接BF，PF，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DFB，根据全等三角形判定定理可得△DFB≌△EQAAAS，则FD=QE，根据边之间的关系可，结合矩形性质即可求出答案.