第一章 《特殊平行四边形》基础卷-北师大版数学九上单元测试卷（含解析）

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第一章 《特殊平行四边形》基础卷-北师大版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列命题正确的是(　　)A．正五边形的外角和是540°B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形C．三角形两边的和大于第三边D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形2． 按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D：（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A=40°，则∠BDC的度数是（　　）A．64°B．66°C．68°D．70°3．如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（　　）A．O为矩形ABCD两条对角线的交点B．EO＝FOC．AE＝CFD．EF⊥BD4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）A．AB=ADB．AC⊥BDC．AC=BDD．∠ACB=∠ACD5． 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为（　　）A．4B．8C．13D．66． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长为(　　)A．4B．5C．8D．207．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若 AC=8，BD=6，则EF的最小值为 (　　)A．3B．2C．125D．528．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且 AF=12AO，连接EF，若AC=8，则EF 的长为(　　)A．1B．2C．4D．39．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　）A．55°B．40°C．35°D．20°10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）A．2B．4C．6D．8二、填空题（每题3分，共18分）11．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∠A=90°，如果添加一个条件，可使得四边形ABCD为正方形，则添加的条件可以是　 　．（添加一个即可）12．四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO=CO，请添加一个适当的条件：　 　 ，使四边形ABCD成为菱形.（只需要添加一个条件即可）13．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，变形后∠A'=30°，若矩形ABCD的面积是12，则平行四边形A'B'C'D'的面积是 　 　．14．如图，等边△AEF的顶点E， F分别在正方形ABCD的边BC， CD上，则∠AEB=　 　°.15．如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，以点 O为顶点的正方形 OEGF的两边 OE，OF分别交正方形 ABCD的两边 AB，BC于点 M，N，记△AOM的面积为 S1， △CON的面积为 S2，若正方形 ABCD的边长 AB=10，S1=16，则 S2的大小为　 　.16．如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线 AC上一点，连接 BE，DE，若∠ABE=35°，则∠CEB的度数为　 　．三、解答题（共8题，共72分）17．如图，在▵ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC、AB的中点．（1）求证：△EDF≌△ECF；（2）判断四边形AEFG的形状，并说明理由．18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线AD交 BC于点 D，DE∥AB，DF∥AC.（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；（2）若AD=2，请求出四边形AFDE 的面积.19．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，过对角线BD的中点O的线段分别交AB，CD边于点E，F.（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当四边形DEBF 是菱形时，求线段DE的长.20．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，. BE⟂BA交AC于点E， DF⟂DC交AC于点 F.（1） 求证： △ABE≅△CDF;（2） 若AC平分. ∠DAB,∠DAC=30∘,AD=12,，求BD的长.21．如图，在▱ABCD中， AC， BD相交于点O， E、F分别是OA、OC的中点.（1）求证： BE =DF. （2）连接DE，BF，已知　 　(从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号)，请判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论.条件①： AC =2BD；条件②： AB=BC.22．如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O，BE∥AC交 DC的延长线于点 E.（1）求证： BD=BE；（2）若∠DBC=30°， BO=4，求 AD的长.23． 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点 P，连接OP. （1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC=12， BD=16，求OP的长. 24．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于点F．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）连接AC，如果∠BAD=60°,AD=4,DC=6，求AC的长．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：选项A：任意多边形的外角和均为360°，与边数无关，因此正五边形外角和为360°，不是540°，故A错误；选项B：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直无法判定四边形为菱形，故B错误；选项C：根据三角形三边关系，任意三角形中两边之和大于第三边，该命题成立，故C正确；选项D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，仅一组对角相等无法判定平行四边形，故D错误。故答案为：C【分析】本题考查多边形外角和、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定的命题辨析。结合对应几何定理逐一验证每个命题：多边形外角和恒为360°；菱形需同时满足对角线垂直与互相平分；三角形天然满足两边之和大于第三边；平行四边形需要两组对角分别相等，据此即可选出正确的命题。2．【答案】D【解析】【解答】解：由作图过程可得AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠ADC=180°-∠A=140°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BDC=∠ADB=12∠ADC=70°.故答案为：D .【分析】由四边相等的四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ADC=140°，进而根据菱形的每一条对角线平分一组对角可求出∠BDC的度数.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，AD∥BC∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OEDA：∵O为矩形ABCD两条对角线的交点∴OB=OD在△BOF和△DOE中∠OFB=∠OED∠OBF=∠ODEOB=OD∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；B：在△BOF和△DOE中∠OBF=∠ODE∠OFE=∠OEDFO=EO∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；C：在△BOF和△DOE中∠OBF=∠ODEBF=DE∠OFE=∠OED∴△BOF≌△DOE(AAS)，不符合题意；D：∵EF⊥BD∴∠BOF=∠DOE=90°不能判定△BOF≌△DOE(AAS)，符合题意；故答案为：D【分析】根据矩形性质可得AD=BC，AD∥BC，则∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，再根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线AC与BD相交于点O，∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，故A、B、D选项都不一定正确，只有C选项一定正确.故答案为：C.【分析】矩形的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分，四个角都是直角，据此逐一判断得出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，OA=6，S菱形ABCD=48，∴AC=2OA=12，S菱形ABCD=12×AC×BD=48，解得BD=8，∵DH⊥AB于点H，∴在Rt△BHD中，OH=12BD=4.故答案为：A。【分析】本题先根据菱形的对角线互相垂直平分得出AC=2OA=12，然后列出菱形的面积计算公式即可求出BD=8，最后放到Rt△BHD中，利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”即可计算出OH的长度。6．【答案】B【解析】【解答】∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=AD=BC=CD，∴AD=10，∵H为AD中点，∠AOD=90°，∴OH=12AD=5，故答案为：B.【分析】 先根据菱形周长求出边长，再利用菱形对角线互相平分的性质确定O为BD中点，结合H为AD中点，利用三角形中位线定理求出OH的长度.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3∴AB=OA2+OB2=5连接OP∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F∴四边形OEPF是矩形∴EF=OP当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小∵S△AOB=12OA·OB=12AB·OP∴OP=OA·OBAB=125∴EF的最小值为 125故答案为：C【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，根据勾股定理可得AB，连接OP，根据矩形判定定理可得四边形OEPF是矩形，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，根据三角形面积即可求出答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AC=8∴BD=AC=8∴OD=12BD=4∵点E是边AD 的中点，AF=12AO∴点F为AO的中点∴EF=12OD=2故答案为：B【分析】根据矩形性质可得BD=AC=8，OD=12BD=4，再根据三角形中位线定理即可求出答案.9．【答案】C10．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO．∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COFAAS，∴S△AOE=S△COF，∴S阴影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△COF+S△BOF+S△COD=S△BCD，∴S△BCD=12BC⋅CD=12BC⋅AB=12×2×4=4，故S阴影=4．故答案为：B．【分析】由矩形对角线互相平分、对边平行的性质，结合对顶角相等的条件，利用 AAS 判定△AOE与△COF全等，得到二者面积相等；通过面积的等量代换，将分散的三块阴影面积拼接转化为△BCD的面积；最后代入边长，利用直角三角形面积公式计算出阴影部分的总面积.11．【答案】AB=AD【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．当添加条件AB=AD时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形ABCD为正方形．故答案为：AB=AD.【分析】先根据得到四边形ABCD为矩形，再根据正方形的判定定理添加条件即可．12．【答案】DO=BO（答案不唯一）【解析】【解答】解：添加条件OB=OD即可，∵AO=CO，OB=OD， ∴ 四边形ABCD 是平行四边形， ∵ 四边形ABCD 的对角线互相垂直， ∴ 平行四边形ABCD 是菱形故可添加为OB=OD．故答案为：OB=OD（答案不唯一） .【分析】根据菱形的判定定理解答即可．13．【答案】6【解析】【解答】解：过点B'作B'E⊥A'D'于点E，∵∠A'=30°，∴B'E=12A'B'=12AB，∵A'D'=AD，S矩形ABCD=12∴S四边形A'B'C'D'=12S矩形ABCD=12×12=6．故答案为：6．【分析】过点B'作B'E⊥A'D'于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案.14．【答案】75【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB，∠D=∠B=90°∵△AEF为等边三角形∴AF=AE，∠FAE=60°在Rt△ADF和Rt△ABE中，AD=ABAF=AE∴Rt△ADF≌Rt△ABE∴∠BAE=∠DAF=1290°−60°=15°∴∠AEB=180°-90°-15°=75°故答案为：75【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则∠BAE=∠DAF=1290°−60°=15°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.15．【答案】9【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形OEGF均为正方形，∴∠EOF=∠BOC=90°，BO=CO，∠MBO=∠NCO，∴∠MOB=∠NOC，∴△OBM≌△OCN，∴S1+S2=S△AOB=14S正方形ABCD=25，∵S1=16，∴S2=25-16=9，故答案为：9.【分析】先证出△OBM≌△OCN，可得S1+S2=S△AOB=14S正方形ABCD=25，再结合S1=16，求出S2=25-16=9即可.16．【答案】80°​​​​​​​【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°，∴∠CEB=180°−∠EBC−∠ACB=180°−55°−45°=80°。故答案为：80° ．【分析】本题先根据正方形的性质得到∠ABC=90°，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出∠CEB=80°。17．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90∘．在Rt▵ACD中，点E是AC的中点，∴DE=12AC=CE．同理DF=12BC=CF．∵EF=EF，∴▵EDF≌▵ECFSSS（2）解：四边形AEFG是平行四边形，理由如下：∵点E，F，G是AC,BC,AB的中点，∴EF是▵ABC的中位线，∴EF=12AB=AG,EG//AG，∴四边形AEFG是平行四边形．【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得EF=12AB=AG,EG∥AG，DF=12BC=CF，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.（2）根据三角形中位线定理可得EF=12AB=AG,EG∥AG，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.18．【答案】（1）解：四边形AFDE 是正方形，理由如下：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE 是平行四边形， ∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形 AFDE 是菱形. ∵∠BAC=90°，∴四边形是AFDE 正方形.（2）解：由(1)知四边形AFDE 是正方形，∴AE2+DE2=2AE2=4,∴AE2=2，∴四边形AFDE 的面积为2.【解析】【分析】(1)先证明四边形AFDE是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出∠EDA=∠EAD，则可得到AE=DE，据此可得结论；(2)由(1)知四边形AFDE 是正方形，再根据正方形面积公式即可求解.19．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形， O是BD的中点，∴∠A=90°， AD=BC=4， AB∥DC， OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO=FO，又∵OB=OD，∴四边形DEBF 是平行四边形；（2）解：当四边形DEBF是菱形时， BE=DE=DF，设BE=x，则DE=x， AE=AB-BE=6-x，在Rt△ADE中， DE2=AD2+AE2,∴x2=42+6−x2,解得：x=133,∴即菱形的边长为 133.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质利用ASA得到△BOE≌△DOF，即可得到EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据菱形的性质得到 BE=DE=DF，设BE=x，根据勾股定理列方程求出x的值解答即可.20．【答案】（1）解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠BAC=∠DCA， ∵BE⊥BA，DF⊥DC∴∠ABE=∠CDF=90°， 在△ABE和△CDF中∠CAB=∠ACDAB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE ≌△CDF（ASA）（2）解：∵AC平分∠DAB，得∠DAC=∠BAC，又∵∠BAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD ∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB=AD∵∠DAB=2∠DAC=60°，∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AD=12.【解析】【分析】(1)利用平行四边形的对边平行且相等，推导出角相等和边相等，从而构造全等条件，进而利用ASA定理即可证明；(2)根据“对角线平分一组对角’判定四边形ABCD为菱形，进而利用菱形的性质，可得△ABD是等边三角形，进而即可求解.21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB =CD AB∥CD OA=OC∴∠BAE =∠DCFE、F 分别是OA、OC 的中点，∴AE=CF,在△ABE 和△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS)∴BE=DF;（2）①【解析】【解答】（2）解： 连接DE、BF，选择条件，四边形DEBF 是矩形；证明：四边形ABCD是平行四边形，∴OD =OB OA=OC，E，F 分别是OA，OC的中点，∴OE=12OA,OF=12OC,∴OE =OF∴四边形DEBF是平行四边形，OA=OC,OE=12OA=14AC,OF=12OC=14AC,AC=2BD,∴EF =BD∴四边形DEBF是矩形；选择条件②，四边形DEBF 是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴OD =OB OA=OCE，F 分别是OA，OC的中点，∴OE=12OA,OF=12OC,∴OE =OF∴四边形DEBF是平行四边形，AB =BC，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD∴四边形DEBF是菱形.【分析】（1）由平行四边形的性质，利用SAS证明△ABE≌△CDF，根据对应边相等证明结论即可；（2）若选择①，先根据对角线互相平分得到四边形DEBF是平行四边形，得到EF=BD，即可证明结论；若选择②，先得到四边形DEBF是平行四边形，然后哦推理得到AC⊥BD，证明结论即可．22．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形，∴AC=BD， AB∥CD，又∵BE∥AC，∴四边形 ABEC是平行四边形，∴AC=BE，∴BD=BE；（2）解：∵在矩形 ABCD中， OB=4， ∠BCD=90°，∴BD=2BO=8=AC，∵∠DBC=30°，∴CD=12BD=4,∴AD=AC2−CD2=82−42=43.【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得AC=BD，然后得到ABEC是平行四边形，即可得到AC=BE，等量代换得到结论即可；（2）根据矩形的对角线互相平分可得BD的长，再根据30°角的直角三角形的性质求出CD的长，根据勾股定理解答即可．23．【答案】（1）证明：在▱ABCD中， AD∥BC，∴∠DAC =∠ACB ， ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC =∠BAC ， ∴∠ACB =∠BAC ， ∴AB =BC ， ∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：DP∥AC ， CP∥BD，∴四边形OCPD 是平行四边形∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD =90°，∴四边形OCPD 是矩形， ∴OP = CD ， 在ABCD中，OC=12AC=6,OD=12BD=8,在Rt△OCD中，CD=OC2+OD2=10,∴OP = CD =10.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠ACB=∠BAC，利用等角对等边得到AB =BC，即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到OCPD是矩形，即可得到OP=CD，根据勾股定理求出CD的长解答即可．24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥AE，∴∠EDF=∠AED，∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠EDF=∠ADE，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴四边形AEFD是菱形；（2）解： 如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，AD=4，DC=6，∴AD∥BC，BC=AD=4，∴∠CBG=∠BAD=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=12BC=2，∴CG=BC2−BG2=23，AG=AB+BG=8，∴AC=AG2+CG2=82+(23)2=76=219．【解析】【分析】（1）由大平行四边形ABCD得DF∥AE；结合EF∥AD，两组对边平行，先证AEFD是平行四边形；DE平分∠ADC，得∠ADE=∠EDF；DF∥AE推出内错角∠EDF=∠AED，等量代换得∠ADE=∠AED；等角对等边，得到邻边AD=AE；平行四边形 + 一组邻边相等，判定菱形.（2）平行四边形ABCD，得AB=DC=6，BC=AD=4，AD∥BC；延长AB，作CG⊥AG，由平行线同位角得∠CBG=∠BAD=60∘；Rt△CBG中∠BCG=30∘，求出BG=2，勾股算出高CG=23；计算AG=AB+BG=8；在Rt△ACG中再次使用勾股定理，算出AC并化简二次根式.