湘教版（2024）第1章 图形的相似1.5 相似三角形的性质教课内容课件ppt

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相似三角形对应线段的比相似三角形面积的比
相似三角形对应线段的比
1. 已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，由相似三角形的判定和性质可以证明：相似三角形对应线段的比等于相似比. 具体见下表：
相似三角形的性质定理1：相似三角形对应线段的比等于相似比.
2. 相似三角形周长的比与相似比的关系性质：相似三角形的周长比等于相似比.已知△ABC∽△A′B′C′，由相似三角形的定义和比例的性质可以证明相似三角形的周长比等于相似比, 具体如下表：
特别提醒在运用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意前提条件：(1)两个三角形必须相似；(2)抓住“对应”二字，并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比.
[母题 教材P34 练习T2]已知△ABC∽ △A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应高，AE和A'E' 是它们的对应角平分线. 若BD=3 cm，B' D' =6 cm，A'E'=8 cm，求AE的长.
解题秘方：利用相似三角形中对应线段的性质得到有关对应线段的比例式，然后将相关数据代入求值.
1-1. [母题 教材P36 习题T1]两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm 和5 cm，那么这两个三角形的相似比是_______；如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线长3 cm，那么较长的中线长_______ cm.
[一题多解] △ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF 的周长是( )A. 54 B. 36 C. 27 D. 21
解题秘方：根据“相似三角形的对应边成比例”或“相似三角形的周长比等于相似比”列方程求解.
2-1.[期末·长沙开福区]已知两个三角形的相似比为1 ∶ 4，且它们的周长相差27 cm，则较小的三角形的周长为_______.
相似三角形的性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，由比例的性质和等式的性质可以证明相似三角形的面积比等于相似比的平方. 具体如下表：
拓展相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
特别提醒相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是等于相似比.相似比等于面积比的算术平方根.
如图1.5-2，△ABC∽△A′B′C′，BC=6，B′C′=4，AD⊥BC于点D，AD=4，求△A′B′C′的面积.
解题秘方：利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.
3-1. [期末·郴州北湖区]如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且AE=2DE，BD 与CE 相交于点F，若△ DEF 的面积是3，则△ BCF 的面积是______.
利用相似三角形的性质求线段长
如图1.5-3，在 Rt △ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，DE∥AB.(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求DE的长；(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求DE的长 .
解题秘方：紧扣“平行线构成的A型相似图形”的特征，用相似比与面积比、周长比的关系进行求解 .
解法提醒相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；反之，两个三角形相似，相似比等于周长比，相似比等于面积比的算术平方根 .
利用相似三角形的性质探究规律
[一题多解]如图1.5-4，△ABC是斜边长为3 的等腰直角三角形(AB为斜边)，在△ABC内作第 1 个内接正方形A1B1D1E1(点D1，E1在AB上，点A1，B1分别在AC，BC上)，再在△A1B1C内按同样的方法作第 2 个内接正方形A2B2D2E2……如此下去，操作n 次，则第 n 个正方形AnBnDnEn的边长是_______.
利用相似三角形的性质解决实际问题
[情境题 生活应用]某小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花卉(如图 1.5-5)，其中AD∥BC，AD=10 m，BC=20 m.
(1)种植太阳花的价格为8 元 /m2，在△AMD地带上种满太阳花(图1.5-5 中阴影部分)共花了 160 元，请计算在△CMB地带上种满太阳花所需的费用；(2)若其余地带有玫瑰花和茉莉花两种花卉可供选择(仅种植一种)，价格分别为12 元 /m2 和 10 元 /m2，则选择种植哪种花卉可以刚好用完所筹集的资金？
解题秘方：紧扣“相似三角形面积的比”的性质，建立相似三角形的模型求解 .
思路点拨(1)先证明△ AMD 与△ CMB 相似，然后根据相似三角形的性质求解；(2)根据(1)中求得的△ AMD 和 △ CMB的 面积，可求出△ AMD 的边 AD 上的 高和△ CMB 的边 BC 上的高，由于梯 形 ABCD 的高为△ AMD 的边AD 上的高与△ CMB 的边BC 上的高之和，故可求得梯形的面积，从而求解.
误认为相似三角形的面积比等于相似比而出错
[母题 教材P36 例4]两个相似三角形对应边的长分别为20 cm和40 cm，且这两个相似三角形的面积差为90 cm2.求较大三角形的面积.
诊误区：两个相似三角形的面积比等于相似比的平方. 本题误认为面积比等于相似比而出错.
利用“相似三角形对应线段的比等于相似比”求线段长
[母题中考·广西教材P37 习题T5]如图1.5-6，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH 的边GH在BC 上，点E，F 分别在AB，AC 上，AD交EF 于点N，则AN的长为(　　)A.15 B.20 C.25 D.30
试题评析：本题考查相似三角形的判定和性质，以及正方形、矩形的有关内容. 熟练掌握“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”是解题关键.
利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求面积的比
试题评析：本题考查相似三角形的判定和性质，利用三角形面积的比求相似三角形的相似比，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.
2. [期末·成都高新区]若两个相似三角形一组对应中线的长分别是2cm 和5cm，其中较小的三角形的周长是10cm，则较大的三角形的周长为(　　)A. 15 cm B. 18 cmC. 20 cm D. 25 cm
3. [中考·包头]如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为( )A. 1∶4 B. 4∶1C. 1∶2 D. 2∶1
6. [母题 教材P37 习题T5]如图，在△ ABC 中，点F，G在BC上，点E，H分别在AB，AC上，四边形EFGH 是矩形，EH=2EF，AD 是△ABC的高，与EH交于点M. 已知BC=8，AD=6，那么EH的长为______．
7. [新考法 归纳法]如图，小红作出了边长为1的第1 个正三角形A1B1C1，算出了正三角形A1B1C1 的面积，然后分别取△A1B1C1 三边的中点A2，B2，C2 作出了第2 个正三角形A2B2C2，算出了第2个正三角形A2B2C2 的面积，用同样的方法作出了第3个正三角形A3B3C3, 算出了第3 个正三角形A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第n 次作出的正三角形AnBnCn 的面积是_______.
8. [母题 教材P37 习题T4]如图，AC，BD相交于点O，∠A= ∠D.
(1)求证：△AOB∽△DOC；
证明：因为∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，所以△AOB∽△DOC.
(2)已知AO=3，DO=2，△AOB的面积为6，求△DOC的面积.
9. [期末·长沙雨花区]如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于O．
(1)求证：△COE∽△AOB；
证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥DC.所以∠ACD=∠CAB，∠CEB=∠ABE.所以△COE∽△AOB.
(2)已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，求四边形AOED的面积．