初中冀教版（2024）26.1 锐角三角函数优秀单元测试同步训练题

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一、选择题（每题3分，共30分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。把△ABC 的各边都放大为原来的 2 倍，得到 △A'B'C'（∠A' 与 ∠A 对应），则 sin A' 的值是（________）。
A. 12
B. 1
C. 14
D. 无法确定
2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，下列关系式正确的是（________）。
A. sin A = BCAB
B. cs A = BCAB
C. tan A = ACBC
D. sin B = BCAB
3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则 sin B 的值是（________）。
A. 35
B. 45
C. 34
D. 43
4. sin 30° 的值是（________）。
A. 12
B. 32
C. 22
D. 3
5. 用科学计算器求 tan 36° 的值，正确的按键顺序是（________）。
A. 依次按 3、6、tan 键
B. 依次按 tan、3、6 键
C. 依次按 3、tan、6 键
D. 依次按 shift、6、3 键
6. 计算 sin²30° 的结果是（________）。
A. 14
B. 12
C. 1
D. 32
7. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件，不能解这个直角三角形的是（________）。
A. ∠A=30°，AB=6
B. AC=3，BC=4
C. ∠A=30°，∠B=60°
D. ∠A=30°，BC=3
8. 如图，飞机在点 O 处，从飞机上看地面目标 B，图中标出的角 θ 是（________）。
A. 仰角 B. 俯角
C. 直角 D. 钝角
9. 一段斜坡的垂直高度为 3 m，水平宽度为 4 m，则这段斜坡的坡度 i 等于（________）。
A. 34
B. 43
C. 35
D. 54
10. 如图，轮船在点 O 处向东航行，灯塔 T 在轮船的北偏东 30° 方向，则 OT 与正东方向的夹角是（________）。
A. 60° B. 30°
C. 90° D. 45°
二、填空题（每题3分，共18分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=35，则 BC=（________）。
2. 计算：tan 45° + cs 60° − sin 30° =（________）。
3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sin A = 32，则 ∠A=（________）°，∠B=（________）°。
4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则 AB=（________），tan A=（________）。
5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则 AB=（________）。
6. 在含 30° 角的直角三角形中，若 30° 角所对的直角边长为 2，则斜边长为（________），另一条直角边长为（________）。
三、计算题（每题5分，共15分）
1. (5分) 计算：2sin30° + 3tan30° − tan45°。
2. (5分) 计算：sin²45° + tan60°·cs30°。
3. (5分) 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求 sin A、cs A、tan A 的值。
四、解答题（共37分）
1. (8分) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=42，BC=4。解这个直角三角形。
2. (8分) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=52°，BC=5。解这个直角三角形。（结果精确到 0.01）
3. (8分) 如图，小明在距旗杆 6 m 处用测角仪观测旗杆（测角仪高度忽略不计），测得旗杆顶端的仰角为 60°，旗杆底部的俯角为 30°。求旗杆的高。（结果保留根号）
4. (8分) 一艘轮船以 24 海里/时的速度由西向东航行，在 A 处测得小岛 C 在轮船的北偏东 60° 方向；2 小时后轮船到达 B 处，此时测得小岛 C 在轮船的北偏东 30° 方向。以小岛 C 为中心、12 海里为半径的范围内是暗礁危险区。轮船继续向东航行，有进入危险区的可能吗？请说明理由。
5. (5分) 如图，某河堤的横断面为梯形 ABCD，AD∥BC，坝顶 BC=4 m，坝高 6 m，背水坡 AB 的坡比 i=1:2，迎水坡 CD 的坡比 i=1:2.5。求坝底 AD 的宽。
参 考 答 案
选择题
第1题：A
【解析】锐角的大小确定后，它的对边与邻边、对边与斜边等的比值就唯一确定（两个直角三角形中一对锐角相等时相似，对应边成比例）。把三角形放大不改变角的大小，所以 sin A' 仍等于 sin 30°=12。选 A。
第2题：A
【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边是 BC，邻边是 AC，斜边是 AB。sin A=对边/斜边=BCAB；cs A=邻边/斜边=ACAB；tan A=对边/邻边=BCAC；sin B=ACAB。只有 A 正确。
第3题：A
【解析】由勾股定理 AB=32+42=5。求 ∠B 的三角函数值必须重新标记：∠B 的对边是不含点 B 的边 AC=3，斜边仍是 AB=5，所以 sin B=ACAB=35。易错点：求 sin B 时仍沿用 ∠A 的对边 BC=4，得到 45。
第4题：A
【解析】由特殊值表，sin30°=12。记忆时可回到图形：含 30° 角的直角三角形中，30° 角所对的边是最短直角边，sin30°=短直角边/斜边=12。B 是 sin60°（或 cs30°）的值，C 是 sin45° 的值，D 是 tan60° 的值。
第5题：A
【解析】用科学计算器求锐角三角函数值时，先输入度数，再按对应的函数键（教材约定）。求 tan 36° 应先依次按 3、6，再按 tan 键。shift 键用于由函数值反求角度。
第6题：A
【解析】sin²30° 表示 (sin30°)²，先求 sin30°=12，再对整个值平方，得 14。它不等于 2sin30°=1（C 是这一典型错误的结果），也不等于 sin30°=12。
第7题：C
【解析】解直角三角形需要已知五个元素中的两个元素，且至少有一个是边。A、B、D 都满足“两个元素、至少一边”；只已知两个锐角时，两锐角互余可以相互推出，但三角形形状相同、大小可以任意缩放，不能确定边长。故选 C。
第8题：B
【解析】仰角、俯角都以水平视线为基准：视线在水平视线上方所成的角是仰角，视线在水平视线下方所成的角是俯角。图中 OA 为水平视线，视线 OB 向下，故 ∠AOB 是俯角。不要只看“看”的动作，要看视线相对水平线的上下位置。
第9题：A
【解析】坡度（坡比）是坡面的垂直高度与水平宽度的比，即 i=ℎl=34。它是比值不是角度，也不是斜边参与的比例（35 是铅直高与坡面长之比）。B 是把比写反。
第10题：A
【解析】北偏东 30° 表示目标方向在正北方向向东偏 30°，它与正东方向的夹角为 90°−30°=60°。北偏东 30° 与东偏北 60° 表示同一方向。选 A。
填空题
第1题：6
【解析】sin A=对边/斜边=BCAB，所以 BC=AB·sin A=10×35=6。
第2题：1
【解析】tan45°=1，cs60°=12，sin30°=12，原式=1+12−12=1。
第3题：60;30
【解析】对照特殊值表，sin60°=32，所以 ∠A=60°；直角三角形两锐角互余，∠B=90°−60°=30°。注意 sin30°=12，不要把 12 与 32 记混。
第4题：13;125
【解析】由勾股定理 AB=AC2+BC2=25+144=13；tan A=对边/邻边=BCAC=125。
第5题：8
【解析】∠A 的对边是 BC=4，sin A=BCAB，即 sin30°=4AB，所以 AB=4(12)=8。
第6题：4;23
【解析】含 30° 角的直角三角形三边之比为 1:3:2（30° 角所对直角边 : 较长直角边 : 斜边）。30° 角所对直角边为 2 时，斜边为 4，另一条直角边为 23。这就是特殊角三角函数值的图形来源。
计算题
第1题：3
【解析】原式=2×(12)+3×(33)−1=1+3−1=3。步骤：①识别特殊角并写出对应函数值；②代入原式；③按先乘方、再乘除、后加减化简。
【3分】正确写出三个特殊值并代入（每个特殊值 1 分）
【2分】按先乘除后加减正确化简，得到 3
第2题：2
【解析】原式=(22)²+3×(32)=12+32=2。sin²45° 表示 (sin45°)²，先求 sin45°=22，再平方得 12，不能写成 2sin45°。
【3分】正确写出各特殊值，注意 sin²45° 先求 sin45° 再平方
【2分】正确化简得 2
第3题：sin A=45，cs A=35，tan A=43
【解析】由勾股定理 AB=AC2+BC2=36+64=10。sin A=对边/斜边=BCAB=810=45；cs A=邻边/斜边=ACAB=610=35；tan A=对边/邻边=BCAC=86=43。锐角 A 的正弦、余弦、正切统称为 A 的三角函数。
【3分】用勾股定理正确求出 AB=10
【2分】正确求出 sin A、cs A、tan A 三个值，对边邻边标记正确
解答题
第1题：AC=4，∠A=45°，∠B=45°
【解析】在 Rt△ABC 中，AC=AB2−BC2=(4√2)2−42=32−16=4；sin A=对边/斜边=BCAB=4(42)=22，对照特殊值表得 ∠A=45°；∠B=90°−∠A=45°。所以 AC=4，∠A=45°，∠B=45°。
【2分】用勾股定理正确求出 AC=4（或等价关系）
【3分】由 sin A=BCAB=22 求出 ∠A=45°（等价方法同样给分）
【2分】由两锐角互余求出 ∠B=45°
【1分】书写规范，结果完整
第2题：∠B=38°，AC≈3.91，AB≈6.35
【解析】∠B=90°−∠A=90°−52°=38°。∠A 的对边是 BC=5，邻边是 AC，斜边是 AB。tan A=BCAC，所以 AC=BCtanA=5tan52°≈51.2799≈3.91；sin A=BCAB，所以 AB=BCsinA=5sin52°≈50.7880≈6.35。取近似值放在最后一步，避免误差累积。
【2分】由两锐角互余求出 ∠B=38°
【3分】选择恰当的三角函数关系正确求出 AC≈3.91（用 tan 或等价方法）
【3分】正确求出 AB≈6.35（用 sin 或等价方法），并在最后一步取近似
第3题：旗杆高 AB=83 m（约 13.9 m）
【解析】过观测点 O 作水平视线，交旗杆于点 C，则 ∠AOC=60°，∠BOC=30°，OC 为观测点到旗杆的水平距离 6 m。旗杆被水平视线分为两段：AC=OC·tan60°=6×3=63（m），BC=OC·tan30°=6×(33)=23（m）。旗杆高 AB=AC+BC=63+23=83≈13.9（m）。注意：仰角、俯角都以水平视线为基准，两段高度相加。
【3分】正确构造两个直角三角形，列出 tan60°=ACOC、tan30°=BCOC（或等价列式）
【3分】分别求出两段高度 63 m 与 23 m
【2分】两段相加得 83 m 并规范作答
第4题：不会进入危险区。理由：过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D，则 ∠CAD=30°，∠CBD=60°。设 CD=x 海里，则 AD=xtan30°=3x，BD=xtan60°=x3。由 AD−BD=AB=24×2=48，得 3x−x3=48，解得 x=243≈41.6（海里）。因为 41.6>12，轮船到小岛的最近距离（垂距）大于危险区半径，所以轮船继续向东航行不会进入危险区。
【解析】轮船由西向东航行，A 在左、B 在右，小岛 C 在航线北侧，故过 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于 D。北偏东 60° 的方向与正东方向成 30°，所以 ∠CAD=30°；北偏东 30° 的方向与正东方向成 60°，所以 ∠CBD=60°。设 CD=x，在两个直角三角形中分别得 AD=3x、BD=x3，由 AD−BD=AB=24×2=48 列方程解得 x=243≈41.6 海里。判断是否进入危险区，只比较垂距与危险半径：41.6>12，所以不会进入。这里用到了方程思想，以及“垂距是与危险区位置无关的最近距离”这一关键判断。
【2分】正确作辅助线 CD⊥AB，得出 ∠CAD=30°、∠CBD=60°
【2分】分别用垂距 x 表示 AD、BD（两个正切关系式）
【2分】由 AD−BD=48 列方程解得 x=243（等价方法同样给分）
【2分】将垂距与危险区半径 12 海里比较，作出判断并说明理由
第5题：坝底 AD=31 m
【解析】过 B、C 分别作 AD 的垂线 BE、CF，垂足为 E、F，则四边形 BEFC 是矩形，EF=BC=4 m，BE=CF=坝高=6 m。背水坡 AB 的坡比 i=1:2，即垂直高度:水平宽度=1:2，所以 AE=2×BE=12 m；迎水坡 CD 的坡比 i=1:2.5，即 CF:DF=1:2.5，所以 DF=2.5×CF=15 m。坝底 AD=AE+EF+DF=12+4+15=31 m。坡度是比值不是角度，按“垂直高度:水平宽度”写出坡比再计算，不要写反。
【2分】分别求出 AE=12 m、DF=15 m（坡比 h:l 用对）
【1分】EF=BC=4 m
【2分】AD=AE+EF+DF=31 m 并规范作答
命 题 双 向 细 目 表 （ 教 师 用 ）
知识点覆盖 20/20；题目映射 24/24。
姓名：______________
班级：______________
得分：______________
知识点/教材边界
能力层级
对应题号
题数
KP-L1-1 在直角三角形中,当其中一个锐角的大小确定时,两条直角边的比值也是确定的吗?
理解
一-1
1
KP-L1-2 对边与邻边的比叫作A 的正切
应用
二-4、三-3
2
KP-L1-3 利用科学计算器,可以由已知锐角求它的三角函数值,还可以由已知三角函数值求出它对应的锐角
理解
一-5
1
KP-L1-4 教材在 Rt△ABC（∠C=90°）中定义：∠A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正弦（sine），记作 sin A；∠A 的邻边与斜边的比叫作∠A 的余弦（csine），记作 cs A；并由 a