专题05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题10大重点题型（专项训练）

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专题05 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题10大重点题型（原卷版） 高二数学选择性必修一题型建模 专项突破题型一、圆锥曲线中的定点问题1．已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为(1)求抛物线C的方程;(2)若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且，求证：直线m过定点.2．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求的方程；(2)设直线不经过点，且与相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为-2，求证：l过定点，并求出该定点的坐标.3．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）已知四个点中恰有三个点在椭圆：上.(1)判断哪个点不在椭圆上，并求出椭圆的方程；(2)设椭圆的左右顶点分别是、，点是直线上一点，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点.4．（24-25高二上·四川遂宁·阶段练习）已知点在椭圆上，椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，①求证：直线AB经过定点；②求面积的取值范围（为坐标原点）.5．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线 与椭圆C交于A、B两点.①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由.6．（24-25高二上·四川自贡·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，其离心率为，过点且平行于的直线与椭圆交于，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于.①若直线斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线过定点，并求出定点坐标；②求四边形面积的取值范围.7．（24-25高二上·福建福州·期中）已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点(1)求圆的方程；(2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值(3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点．8．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点.①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值.9．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点在椭圆上，右准线方程为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点.(1)求以为直径圆的方程；(2)以椭圆上、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，再过点作的垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由.10．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为．  (1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称．（ⅰ）证明：直线恒过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围．题型二、弦长类定值11．（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点在上，且.(1)求的方程；(2)过点作两条直线交于两点，交于两点，且.①求证：为定值；②求四边形面积的最小值.12．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．(1)求的方程．(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．13．（24-25高二上·甘肃·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且．(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线上任意一点关于直线的对称点为，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与双曲线分别交于点，求证：为定值．14．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图．(1)求抛物线的标准方程；(2)证明：为定值；(3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值．15．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的离心率为2，左顶点为，过右焦点的直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的方程；(2)从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）.①；②若线段的垂直平分线交轴于点，则为定值.16．（24-25高二上·广东深圳·期末）在直角坐标系中，已知点，平面上的动点满足，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)设直线与的另一个交点为．（i）证明：为定值；（ii）求面积的最小值．17．（2023·江西九江·一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．  (1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．18．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6．(1)求C的方程；(2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值．19．（23-24高三上·上海·期中）已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴．(1)求椭圆E的离心率；(2)设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值；(3)设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值．20．（2024·广东深圳·一模）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．①当时，求证：的值及的周长均为定值；②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．题型三、斜率类定值21．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知椭圆的焦距为2，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.22．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点．(1)求椭圆M的方程；(2)证明直线BC的斜率为定值；(3)求面积的最大值．23．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点P为直线l：上且不在x轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，．（i）证明：为定值；（ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．24．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点.(1)若的斜率存在，求出斜率的取值范围；(2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）；(3)若直线，交于点，且，求的取值范围.25．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点.(1)求圆的标准方程；(2)求的最小值；(3)当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.26．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为．①求证：为定值；②求的取值范围．27．（24-25高二上·重庆·期末）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，双曲线以椭圆的焦点为顶点，且离心率为．(1)求双曲的标准方程；(2)过作斜率不为0的直线与双曲线交于不同两点，设直线的斜率分别为．①证明：为定值；②直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的最大值．28．（25-26高二上·全国·期末）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线．(1)求的方程．(2)已知直线与交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段．①求证：为定值；②已知直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，，求四边形面积的最大值．29．（24-25高二上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，总存在一个点， 满足关系式 ，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆 变换为椭圆；(2)已知曲线经过平面直角坐标系中的伸缩变换 得到的曲线是 ，且与轴有两个交点 (在的左侧)，过点且斜率为 的直线与在轴右侧有两个交点.（i）求的取值范围；（ii） 若直线的斜率分别为，证明：为定值.30．（24-25高二上·山西大同·期中）已知点A，B是椭圆的上、下顶点，点满足.(1)求点的轨迹方程；(2)是否存在点，使得过点的动直线交椭圆于M，N两点，且BM与BN的斜率之和为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.题型四、角度类定值31．（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，．(1)求值；(2)求证：是直角；(3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程．32．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的焦距为，且经过点．(1)求的方程；(2)若直线与相交于不同于的，两点，的中点为，当时，①求证：为直角．②求的值．33．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．34．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点(1)求抛物线的方程；(2)求的重心的轨迹方程；(3)证明：.35．（2009·北京·高考真题）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值..36．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆圆心C的轨迹的方程.(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．37．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点在上，．(1)求双曲线的标准方程．(2)若过焦点且斜率存在的直线与双曲线的右支交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．38．（2024·湖南长沙·一模）已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.(1)探求参数，满足的关系式；(2)若为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：.39．（24-25高二上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母表示.(1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A；(2)在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程；(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为，求证：为定值.题型五、位置关系类定值40．（21-22高三上·北京通州·期末）已知椭圆过点，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．41．（2024·山西长治·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程；(3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.42．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：.43．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l方程为，过作直线的垂线，垂足分别为，点R为线段的中点，求证：四边形为梯形.44．（2024·辽宁沈阳·一模）已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.题型六、向量类定值45．（23-24高二上·河南焦作·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到的距离等于.设动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若直线与曲线交于两点，证明：为定值.46．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为．(1)求的方程．(2)已知直线与轴交于点．①过点的直线与曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程；②求证：为定值，并求出这个定值．47．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为.(1)求双曲线的方程；(2)直线过点，与双曲线交于两点.①若直线，求的面积；②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.48．（24-25高二上·福建福州·期末）如图，椭圆：过点，且的离心率为.直线：与交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点.(1)求的方程；(2)求的最大值；(3)证明：为定值.49．（23-24高三上·四川·阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点．(1)求椭圆的方程．(2)设是椭圆上一点（异于），直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点，使得是定值，并求此定值．50．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．题型七、面积类定值51．（22-23高二下·湖南湘潭·期末）已知直线过点且与圆：交于，两点，过的中点作垂直于的直线交于点，记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程(2)设曲线与轴的交点分别为，，点关于直线的对称点分别为，过点的直线与曲线交于两点，直线相交于点.请判断的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.52．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，已知椭圆的焦点为，，离心率为，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴，点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)判定（为坐标原点）与的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.53．（23-24高二上·河北·期中）已知椭圆的长轴长为4，且三点，，中恰有一点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为坐标原点，直线交椭圆于，两点，为椭圆上与，不重合的点，若．试判断的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．54．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆：，直线过点且与圆交于点B，C，中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为.(1)求的方程；(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.①的面积是定值；②的面积是定值；③的面积是定值.55．（23-24高三上·上海·期中）已知椭圆常数，点为坐标原点．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；(3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．56．（24-25高二上·浙江丽水·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点和，点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线，分别与椭圆交于点，．(1)求椭圆的方程；(2)求内切圆面积的最大值；(3)设，，的面积分别为，，．求证：为定值．57．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点，①证明：为定值；②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．58．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的离心率为，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，D，E，F为椭圆上不同于A，B的点，且，.当l的斜率为0时，的最大面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)的面积是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.59．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆，离心率为，点在椭圆上．(1)求E的方程；(2)过点作互相垂直的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．60．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆焦距为2，离心率等于(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作两条互相垂直的弦，，其中，在轴的上方，且在的右侧，设弦，的中点分别为M，N．①若弦，的斜率均存在，求的最小值；②为坐标原点，试探究：与的面积之比是否为定值?若是，请求出此值；若不是，请说明理由.题型八、距离类定值61．（24-25高二上·河北廊坊·期末）经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．62．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程．(3)若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．63．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆：右焦点是，动点在椭圆上，直线：.(1)若，为坐标原点，求以为直径的圆的方程；(2)若点到直线的距离为，求证：为定值.64．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知点、的坐标分别为、直线、相交于点，且它们的斜率之积是(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与点的轨迹交于两点，且，其中点是坐标原点. 试判断点到直线的距离是否为定值. 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.65．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为.(1)求椭圆E的标准方程.(2)已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由.66．（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；(2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．（i）求证：为定值；（ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值．67．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为．(1)求直线在y轴上的截距之和；(2)若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值；(3)若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围．题型九、参数类定值68．（23-24高二上·江西九江·期末）设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，．(1)求的值；(2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值．69．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设动圆与椭圆E交于A，B，C，D四点．动圆与椭圆E交于，，，四点．若矩形ABCD与矩形的面积相等，证明：为定值．70．（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点（在第三象限），是椭圆上的动点（不与顶点重合），直线分别交直线于点，记，求证：为定值.71．（23-24高三上·河北保定·期末）已知动点在上，过作轴的垂线，垂足为，若为中点．(1)求点的轨迹方程；(2)过作直线交的轨迹于、两点，并且交轴于点．若，，求证：为定值．72．（22-23高二上·吉林长春·期末）已知椭圆：的左右焦点分别是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)如图所示，直线：与椭圆在第二象限交于点，若直线，且与椭圆交于两点，直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标分别为，，求证：为定值．73．（22-23高二上·河南安阳·阶段练习）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．74．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左焦点为，且点在上.(1)求的方程；(2)已知，点为上一点.（i）若为原点，点在第一象限内，NP延长线交轴于点与的面积之比为1:2，求点坐标；（ii）设直线PM与的另一个交点为点，直线PN与的另一个交点为点不重合）.设，求证：当点在上运动时，为定值，并求出此定值.75．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆：（）的右焦点为，且点在上.(1)求的方程；(2)若，，点为上一点.设直线PM与的另一个交点为点B，直线PN与C的另一个交点为点D.设，，证明：当点P在上运动时，为定值.(3)若经过圆O：上一动点G作的两条切线，切点分别记为R，S，直线GR，GS分别与圆O相交于异于点G的两点.求的面积的取值范围.题型十、圆锥曲线中的定直线问题76．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上.77．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点F在直线上．(1)求C的方程；(2)过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上．78．（24-25高二上·陕西铜川·期中）动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为.(1)求的方程.(2)已知直线.①若直线与相交.求的取值范围；②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上.79．（24-25高二上·吉林·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.(1)证明：椭圆在点处的切线方程为.(2)求动点的轨迹的方程.(3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.80．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上．81．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的离心率为，其上顶点与两焦点连线围成的三角形面积为．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示；(3)在（2）的条件下，为椭圆左顶点，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上．82．（24-25高二上·江苏南京·期中）设a为实数，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足．①求斜率k的取值范围；②证明：点H恒在一条定直线上．83．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点为坐标原点，为椭圆上任一点，直线与椭圆相交于两点.(1)求点到点距离的最小值；(2)求面积的最大值；(3)当，直线斜率为1，且点在直线的上方时，的内心是否在定直线上？若是，求出该定直线，不是，请说明理由.84．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.85．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知过点且焦距为2的椭圆，过点且斜率存在的直线交椭圆于P，Q两点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)直线AP，AQ的斜率之积是否为值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；(3)过点作直线l与椭圆E交于C，D两点（点C在x轴上方），椭圆E的左顶点为，右顶点为，求证：直线与直线的交点在一条定直线上.综合攻坚 能力跃升1．（24-25高二上·广东·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，其中点在第一象限．(1)证明：；(2)若四边形为梯形，求其面积．2．（24-25高二上·上海·期末）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.  (1)求双曲线的标准方程；(2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；(3)已知点，求证：.3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点；①求证:OA⊥OB；②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离.4．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为．①求证：为定点；②直线交直线于点，记，求证：为定值．5．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知椭圆分别是的左，右顶点，点是上一点（与不重合），过原点的直线，满足，其中交于两点，交于两点，其中在轴上方，直线的斜率分别为.(1)求证：为定值；(2)判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由；(3)如图，将椭圆沿所在直线翻折，使得平面平面.判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.6．（24-25高二上·浙江舟山·期末）在椭圆上有两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)在线段上取一点（不包括端点），过作斜率为的直线交椭圆于两点（在左侧）．（i）判断是否为定值.若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由；（ii）设中点为，中点为，为椭圆中心，证明：四边形为平行四边形．7．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为(1)求轨迹C的方程；(2)设是线段AB的从左至右的两个三等分点.（）试比较与的大小，并说明理由；（）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点.8．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为．已知点，且的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．9．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到焦点的最近距离为，是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于．(1)求椭圆的标准方程；(2)若，直线与的斜率分别为与，求的值；(3)求证：．10．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，.(1)求抛物线的方程；(2)设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点.①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值；②求四边形面积的最小值.