第63讲 概率与统计的综合应用 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精练 PAGEREF _Tc237160198 \h 3
考点一：概率统计核心概念与数据分析应用 PAGEREF _Tc237160199 \h 3
考点二：离散型随机变量的分布列与期望决策 PAGEREF _Tc237160200 \h 6
考点三：复杂赛制与游戏规则的概率分析 PAGEREF _Tc237160201 \h 11
考点四：概率与数列递推的综合应用 PAGEREF _Tc237160202 \h 13
四、高考真题 PAGEREF _Tc237160203 \h 16
一、考情分析
1. 考查频次与题型
2. 命题角度与特色
（1） 注重基础概念与模型的考查，如正态分布、独立性检验、古典概型等.
（2） 强调概率统计与实际情境的结合，如抽卡片游戏、投篮练习、超声波检查等.
（3） 突出期望的计算与条件概率、全概率公式的综合应用.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握概率统计的核心概念与常见模型，如二项分布、超几何分布、正态分布等.
（2） 强化对复杂情境的分析能力，准确提取信息，建立概率模型求解.
（3） 重视条件概率与全概率公式的理解与应用，提高综合解题能力.
二、知识清单
1. 随机事件的概率与条件概率
（1） 条件概率：已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，记为 P(B∣A)，公式为 P(B∣A)=P(AB)P(A)（其中 P(A)>0）.
（2） 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B).
（3） 全概率公式：设事件 A1,A2,⋯,An 是一组完备事件组，且 P(Ai)>0，则对任意事件 B，有 P(B)=i=1nP(Ai)P(B∣Ai).
2. 离散型随机变量及其数字特征
（1） 数学期望与方差的性质：
① E(aX+b)=aE(X)+b.
② D(aX+b)=a2D(X).
③ 若 X,Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)，D(X±Y)=D(X)+D(Y).
（2） 常见分布的数字特征：
① 若 X∼B(n,p)，则 E(X)=np，D(X)=np(1−p).
② 若 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布，则 E(X)=nMN.
3. 正态分布
（1） 若随机变量 X∼N(μ,σ2)，则其密度曲线关于直线 x=μ 对称.
（2） 3σ 原则：
① P(μ−σm).年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2024
第9题 多选
第14题 填空
11分
直接考察
正态分布的性质与概率计算、离散型随机变量的期望
2025
第14题 填空
第15题 解答
18分
直接考察
离散型随机变量的期望、独立性检验
2026
第1题 单选
第8题 单选
第17题 解答
25分
直接考察
中位数、古典概型与期望、离散型随机变量的分布列与条件概率
满意程度
性别
合计
男生
女生
满意
120
不满意
150
合计
200
α
5.1
6.05
7.01
8.005
9.001
xα
10.706
11.841
12.635
13.879
14.828
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
α
16.1
17.05
18.01
19.005
20.001
xα
21.706
22.841
23.635
24.879
25.828
组别
[300,350)
[350,400)
[400,450)
[450,500)
[500,550)
[550,600]
频数
20
30
50
60
20
20
第二轮答对
第二轮答错
合计
第一轮答对
60
20
80
第一轮答错
10
10
20
合计
70
30
100
乙
丙
丁
比赛的次数
60
60
50
甲获胜的次数
20
30
40
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
P(χ2≥k)
0.005
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828