第62讲 条件概率与常见分布模型 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第62讲 条件概率与常见分布模型 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共27页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc237158735 \h 8
考点一：条件概率与相互独立事件 PAGEREF _Tc237158736 \h 8
考点二：全概率公式与贝叶斯公式 PAGEREF _Tc237158737 \h 12
考点三：离散型随机变量及其分布列 PAGEREF _Tc237158738 \h 16
考点四：离散型随机变量的数字特征（均值与方差） PAGEREF _Tc237158739 \h 19
考点五：常见离散型分布模型（两点分布、二项分布、超几何分布） PAGEREF _Tc237158740 \h 24
考点六：正态分布及其应用 PAGEREF _Tc237158741 \h 28
四、高考真题 PAGEREF _Tc237158742 \h 33
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷均有直接考查，题型涵盖单选题、多选题、填空题和解答题，分值在5分到20分之间.
2. 命题角度与特色
（1） 重点考查离散型随机变量的分布列与数学期望，常结合具体情境（如抽卡片、取球、投篮等）进行考查.
（2） 正态分布的对称性与概率计算也是考查的重点，常以多选题形式出现.
（3） 条件概率与全概率公式的考查常与分布列结合，在解答题中作为重要步骤出现.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握离散型随机变量分布列的求解方法，准确计算数学期望与方差.
（2） 深刻理解正态分布曲线的对称性及其在概率计算中的应用，牢记特殊区间的概率值.
（3） 加强对条件概率、全概率公式及相互独立事件的理解，提升在复杂情境中分解事件、计算概率的能力.
二、知识清单
1. 条件概率
（1） 定义：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.
① 条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件.
② 若P(A)=0，表示条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(A)>0的情况下进行.
（2） 性质：
① 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
② 必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0.
③ 如果B与C互斥，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
④ 如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A).
⑤ 已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)=n(AB)n(A)=n(AB)n(Ω)n(A)n(Ω)=P(AB)P(A).
2. 相互独立与条件概率的关系
（1） 相互独立事件的概念及性质：
① 相互独立事件的概念：对于两个事件A，B，如果P(B|A)=P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率.设P(A)>0，根据条件概率的计算公式，P(B)=P(B|A)=P(AB)P(A)，从而P(AB)=P(A)P(B).由此我们可得：设A，B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.
② 概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称上式为概率的乘法公式.
③ 相互独立事件的性质：如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.
④ 两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2,n∈N∗)个事件的相互独立性，即若事件A1,A2,⋯,An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2)⋯P(An).
（2） 事件的独立性：
① 事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)⋅P(B).
② 当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A).
③ 如果P(A)>0，A与B独立，则P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A)⋅P(B)P(A)=P(B)成立.
3. 全概率公式与贝叶斯公式
（1） 全概率公式：
① P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).
② 定理1：若样本空间Ω中的事件A1,A2,⋯,An满足：任意两个事件均互斥，即AiAj=⌀,i,j=1,2,⋯,n,i≠j；A1+A2+⋯+An=Ω；P(Ai)>0,i=1,2,⋯,n.则对Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+⋯+BAn，且P(B)=i=1nP(BAi)=i=1nP(Ai)P(B|Ai).
（2） 贝叶斯公式：
① 一般地，当00.7，
解得N>70.651≈10.8，所以N的最小值为11.
（3）他愿意购买“准时保”.
设他购买“准时保”的净收益为Y元，则Y的所有可能取值为−0.5,2.5，
P(Y=−0.5)=0.93,P(Y=2.5)=1−0.93=0.07，E(Y)=0.93×(−0.5)+0.07×2.5=−0.29，
显然|E(Y)|=|−0.29|1，解得k≤11.75
因为k∈N，所以k≤11时，P(Y=k)P(Y=k+1)，
所以当k=12时，P(Y=k)最大.
【考点五 方法总结】
1. 超几何分布和二项分布的区别：
（1） 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2） 超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
2. 随机变量是否服从超几何分布的判断：若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：该试验是不放回地抽取n次；随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然.
3. 求超几何分布的分布列的步骤：
（1） 验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
（2） 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3） 列出分布列.
4. 二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率.
5. 二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是：
（1） 根据题意设出随机变量；
（2） 分析出随机变量服从二项分布；
（3） 找到参数n，p；
（4） 写出二项分布的分布列；
（5） 将k值代入求解概率.
6. 在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解.解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验.
考点六：正态分布及其应用
考法21：利用正态密度函数解析式与图象辨析正态曲线特征
28.（2026·河北石家庄一中·一模）设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξa+2)，则a的值为（ ）
A. 73 B. 43 C. 3 D. 5
【答案】A
【思路】利用正态分布曲线的对称性，建立关于参数a的方程求解.
【解析】由题意，根据正态分布的对称性2a−3+a+22=3∴a=73，
故选：A.
29.（2025·河南金科新未来·联考）已知随机变量X服从标准正态分布，若P(X≤a)=0.6，则P(−a≤Xa)=0.4，
所以P(0