第十章　§10.1　计数原理与排列组合-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义）

这是一份第十章　§10.1　计数原理与排列组合-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义），共6页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念.3.能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题.
1.两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
3.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号____表示.(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号____表示.
4.排列数、组合数的公式及性质
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　)(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　)
3.(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地的不同路线共有A.11条B.12条C.13条D.14条
解析　从甲地到丁地的不同路线共有2×3+4×2=14(条).
4.(2025·上海)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有　　　种.
例1　(1)(2026·保定模拟)我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有A.66个B.55个C.36个D.28个
解析　当首位数字为1时，后两位相加为7，“幸运数”分别是107，170，116，161，125，152，134，143，共8个；当首位数字为2时，后两位相加为6，“幸运数”分别是206，260，215，251，224，242，233，共7个；当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305，350，314，341，323，332，共6个；当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404，440，413，431，422，共5个；当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503，530，512，521，共4个；当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602，620，611，共3个；当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701，710，共2个；当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个.因此所有的“幸运数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
(2)(苏教版选择性必修第二册P64习题7.1T13改编)用4种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有　　　种不同的涂法.
解析　第一步，填涂①，有4种不同的颜色可选用；第二步，填涂②，除①所用过的颜色外，还有3种不同的颜色可选用；第三步，填涂③，除①②用过的2种颜色外，还有2种不同的颜色可选用；第四步，填涂④，除②③用过的2种颜色外，还有2种不同的颜色可选用.所以共有4×3×2×2=48(种)不同的涂法.
完成一件事的方法种数的计算步骤(1)审清题意，弄清要完成的事件是怎样的.(2)分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种.(3)弄清在每一类或每一步中的方法种数.(4)根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.
跟踪训练1　(1)如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1~8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有A.68种B.136种C.272种D.544种
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有　　　种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是　　　.
解析　由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1=24(种)选法；先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112.
例2　(1)(2026·重庆模拟)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、洪崖洞民俗风貌区、重庆动物园、仙女山、白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有A.96种B.100种C.108种D.120种
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　种(用数字作答).
排列问题和组合问题的区分方法(1)排列问题：若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.(2)组合问题：若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
跟踪训练2　(1)有4名男生，5名女生排成一行，甲不在正中间也不在两端的排法种数为A.336B.7 200C.40 320D.241 920
(2)(2026·沙坪坝模拟)盒子甲中有5个红球和3个蓝球，盒子乙中有6个红球和2个蓝球.若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有1个蓝球的不同取法共有A.150种B.180种C.300种D.345种
例3　(多选)(2026·哈尔滨模拟)象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红、黑两种阵营，马、车、炮为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法正确的是A.共有120种排列方式B.若两个“车”相邻，则有24种排列方式C.若两个“马”不相邻，则有72种排列方式D.若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式
命题点1　相邻、相间问题
例4　(2025·淮安模拟)如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是A.10B.20C.60D.120
例5　(2025·喀什模拟)某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为A.120B.210C.150D.180
命题点3　分组、分配问题
求解排列组合问题的6种主要方法
跟踪训练3　(1)(2026·天津模拟)甲、乙、丙三位教师指导六名学生a，b，c，d，e，f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则不同的分配方案共有A.90种B.120种 C.150种 D.240种
(2)(多选)传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是A.6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则 不同的站法种数为120B.6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的站法种数为240C.6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的站法种数为480D.6名同学平均分成三组到三种不同的队列进行训练(每组成员训练内容 相同且每种训练必须有人参加)，则有540种不同的安排方法
递推数列在计数原理中的应用在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.
典例　(1)有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现在求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则不同的坐法共有A.9种B.16种C.44种D.265种
解析　记n个人坐位子且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{an}，易得a2=1，a3=2，当n≥4时，首先，让A1选位，A1不选B1，则共有n-1种坐法，不妨设A1选了Bk(k≠1)，然后再让Ak选位，①当Ak选B1时，则余下n-2个人和n-2个座位，共有an-2种坐法；②当Ak不选B1时，则余下n-1个人都有一个不能选的座位，则共有an-1种坐法，所以an=(n-1)(an-2+an-1)，所以a4=3(a2+a3)=9，a5=4(a3+a4)=44，a6=5(a4+a5)=265.
(2)如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k=5，n=6时，共有　　　　种不同的着装方法.
一、单项选择题1.(2026·北京模拟)甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法共有A.6种B.12种C.24种D.36种
2.已知A，B两个公司承包6项工程，每项工程均被承包且至多被一个公司承包，每个公司至少承包2项，则承包方式共有A.24种B.70种C.48种D.50种
3.(2025·榆林模拟)高二(1)班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为A.42B.30C.21D.15
4.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为A.24B.48C.144D.240
5.(2026·绵阳模拟)用0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则组成的偶数有A.66个B.60个C.90个D.96个
6.(2026·哈尔滨模拟)某市开展支教活动，有甲、乙、丙等六名教师被随机地分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，则不同的分法共有A.1 080种B.1 560种C.2 640种D.3 960种
7.(2025·南通模拟)把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为A.70B.99C.110D.165
8.某同学计划用他姓名的首字母T，X，身份证的后4位数字(4位数字都不同)以及3个符号α，β，θ设置一个六位的密码.若T，X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母的相对顺序和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为A.864B.1 009C.1 225D.1 441
10.(2026·成都模拟)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是A.若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案B.若每人分得2本，则有90种方案C.若三人分得书本数互不相同，则有360种方案D.共有450种分配方案
11.(2026·哈尔滨模拟)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则A.课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法B.课程“礼”排在“乐”的后面(可以不相邻)，共有360种排法C.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
解析　对于每一名同学来说，都有3种选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以由分步乘法计数原理得不同选择的种数是3×3×3×3×3=35=243.
三、填空题12.(人教A版选择性必修第三册P37复习参考题6T1(5))5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是　　　　.
13.某员工在开办公室四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由“3”“6”“9”这三个数字组成，则该密码有　　种可能.(用数字作答) 
14.(湘教版选择性必修第一册P208复习题四T11改编)有3种颜色的灯泡，要在如图所示三棱台的6个顶点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共　　　种.
15.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数11=32+12+12+02.设36=a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是A.26B.28C.29D.30
16.(2025·深圳模拟)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有A.6种B.10种C.11种D.12种
解析　设在第n(n≥2，n∈N*)次传球后球在丙手中有an种情况，即经过n次传球后球又被传回给丙，在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有2n种传球方法，故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有(2n-an)种，即球在甲或乙手中，只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙，即an+1=2n-an，由题意可得a2=2，则a3=22-a2=2，a4=23-a3=6，a5=24-a4=16-6=10.